Номер 6.10, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.10. Используя алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x-1} - 2|;$

2) $y = |2\sqrt{2-x} - 4|;$

3) $y = |3 - \sqrt{2x-3}|.$

1) Для построения графика функции $y = |\sqrt{x-1} - 2|$ выполним последовательность преобразований, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим сначала график функции $y_1 = \sqrt{x-1} - 2$, которая находится под знаком модуля. Для этого возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат).

2. Выполним сдвиг графика $y_0 = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс, чтобы получить график функции $y_2 = \sqrt{x-1}$. Начальная точка графика сместится из $(0,0)$ в $(1,0)$. Область определения функции $y_2$ есть $x \ge 1$.

3. Выполним сдвиг графика $y_2 = \sqrt{x-1}$ на 2 единицы вниз по оси ординат, чтобы получить график функции $y_1 = \sqrt{x-1} - 2$. Начальная точка графика сместится из $(1,0)$ в $(1,-2)$.

4. Теперь построим итоговый график $y = |\sqrt{x-1} - 2|$. По определению модуля, $y \ge 0$. Это означает, что часть графика функции $y_1$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$\sqrt{x-1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x-1} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x=5$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(5,0)$. Следовательно, на промежутке $[1, 5)$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, и эту часть мы отражаем. На промежутке $[5, +\infty)$ график $y_1$ лежит выше оси Ox, и эта часть остается неизменной.

В результате отражения начальная точка $(1,-2)$ переходит в точку $(1,2)$. Точка $(5,0)$ является точкой излома итогового графика.

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 1 единицу вправо, сдвиг на 2 единицы вниз, и, наконец, симметричное отражение части графика, расположенной под осью абсцисс, относительно этой оси. Итоговый график имеет начальную точку $(1,2)$, убывает до точки излома $(5,0)$, а затем возрастает.

2) Для построения графика функции $y = |2\sqrt{2-x} - 4|$ выполним последовательность преобразований, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим сначала график функции $y_1 = 2\sqrt{2-x} - 4$, которая находится под знаком модуля. Преобразуем выражение под корнем: $2-x = -(x-2)$.

2. Возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$.

3. Отразим график $y_0$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y_2 = \sqrt{-x}$.

4. Сдвинем график $y_2$ на 2 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y_3 = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$. Начальная точка графика будет в $(2,0)$. Область определения: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

5. Растянем график $y_3$ в 2 раза вдоль оси Oy, чтобы получить $y_4 = 2\sqrt{2-x}$.

6. Сдвинем график $y_4$ на 4 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить $y_1 = 2\sqrt{2-x} - 4$. Начальная точка графика сместится в $(2,-4)$.

7. Теперь построим итоговый график $y = |2\sqrt{2-x} - 4|$. Часть графика $y_1$, лежащую ниже оси Ox, отразим симметрично относительно этой оси.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$2\sqrt{2-x} - 4 = 0 \implies 2\sqrt{2-x} = 4 \implies \sqrt{2-x} = 2 \implies 2-x = 4 \implies x=-2$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(-2,0)$. На промежутке $(-2, 2]$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, эту часть отражаем. На промежутке $(-\infty, -2]$ график лежит выше оси Ox, эта часть остается неизменной.

В результате отражения конечная точка $(2,-4)$ переходит в точку $(2,4)$. Точка $(-2,0)$ является точкой излома.

Ответ: График функции строится путем преобразований графика $y=\sqrt{x}$: отражение относительно оси Oy, сдвиг на 2 единицы вправо, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, сдвиг на 4 единицы вниз, и отражение части графика, расположенной под осью Ox, относительно этой оси. Итоговый график имеет конечную точку $(2,4)$, убывает до точки излома $(-2,0)$, а затем возрастает при движении влево по оси Ox.

3) Для построения графика функции $y = |3 - \sqrt{2x-3}|$, заметим, что $|a-b| = |b-a|$, поэтому $y = |\sqrt{2x-3} - 3|$. Будем строить график, используя преобразования.

1. Построим сначала график функции $y_1 = \sqrt{2x-3} - 3$. Преобразуем выражение под корнем: $2x-3 = 2(x-1.5)$.

2. Возьмем базовый график $y_0 = \sqrt{x}$.

3. Сожмем график $y_0$ в 2 раза вдоль оси Ox, чтобы получить график $y_2 = \sqrt{2x}$.

4. Сдвинем график $y_2$ на 1.5 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y_3 = \sqrt{2(x-1.5)} = \sqrt{2x-3}$. Начальная точка графика будет в $(1.5, 0)$. Область определения: $2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$.

5. Сдвинем график $y_3$ на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить $y_1 = \sqrt{2x-3} - 3$. Начальная точка графика сместится в $(1.5, -3)$.

6. Теперь построим итоговый график $y = |\sqrt{2x-3} - 3|$. Часть графика $y_1$, лежащую ниже оси Ox, отразим симметрично относительно этой оси.

Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox, решив уравнение $y_1=0$:

$\sqrt{2x-3} - 3 = 0 \implies \sqrt{2x-3} = 3 \implies 2x-3 = 9 \implies 2x=12 \implies x=6$.

График $y_1$ пересекает ось Ox в точке $(6,0)$. На промежутке $[1.5, 6)$ график $y_1$ лежит ниже оси Ox, эту часть отражаем. На промежутке $[6, +\infty)$ график лежит выше оси Ox, эта часть остается неизменной.

В результате отражения начальная точка $(1.5, -3)$ переходит в точку $(1.5, 3)$. Точка $(6,0)$ является точкой излома.

Ответ: График функции строится путем преобразований графика $y=\sqrt{x}$: сжатие в 2 раза к оси Oy, сдвиг на 1.5 единицы вправо, сдвиг на 3 единицы вниз, и отражение части графика, расположенной под осью Ox, относительно этой оси. Итоговый график имеет начальную точку $(1.5, 3)$, убывает до точки излома $(6,0)$, а затем возрастает.