Номер 6.4, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.4. 1) $y = -2(x+1)^2 + 3;$ 2) $y = 4-\sqrt{2-x};$ 3) $y = -3\sqrt{2-x} + 2.

1) $y = -2(x + 1)^2 + 3$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ - координаты вершины.

В данном случае коэффициенты: $a = -2$, $h = -1$, $k = 3$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины находятся из уравнения и равны $(h, k)$, то есть $(-1, 3)$.

2. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Область определения $D(y)$. Квадратичная функция определена для всех действительных значений аргумента $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений $E(y)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее высшая точка (вершина) имеет ординату $y = 3$, то функция принимает все значения, не превосходящие 3.

$E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 3)$, ветви направлены вниз.

2) $y = 4 - \sqrt{2 - x}$

Это иррациональная функция. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью последовательности геометрических преобразований. Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{-(x - 2)} + 4$.

Преобразования:

1. $y = \sqrt{x}$ → $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси OY).

2. $y = \sqrt{-x}$ → $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).

3. $y = \sqrt{2-x}$ → $y = -\sqrt{2-x}$ (отражение относительно оси OX).

4. $y = -\sqrt{2-x}$ → $y = -\sqrt{2-x} + 4$ (сдвиг вверх на 4 единицы).

Начальная точка графика $(0,0)$ для $y = \sqrt{x}$ перемещается в точку $(2, 4)$.

1. Область определения $D(y)$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

$D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений $E(y)$. По определению, $\sqrt{2 - x} \ge 0$.

Умножая на -1, получаем: $-\sqrt{2 - x} \le 0$.

Прибавляя 4, имеем: $4 - \sqrt{2 - x} \le 4$.

Таким образом, $y \le 4$.

$E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) $y = -3\sqrt{2 - x} + 2$

Это также иррациональная функция. График получается из графика $y = \sqrt{x}$ преобразованиями. Перепишем функцию в виде $y = -3\sqrt{-(x - 2)} + 2$.

Преобразования:

1. $y = \sqrt{x}$ → $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси OY).

2. $y = \sqrt{-x}$ → $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).

3. $y = \sqrt{2-x}$ → $y = 3\sqrt{2-x}$ (растяжение в 3 раза вдоль оси OY).

4. $y = 3\sqrt{2-x}$ → $y = -3\sqrt{2-x}$ (отражение относительно оси OX).

5. $y = -3\sqrt{2-x}$ → $y = -3\sqrt{2-x} + 2$ (сдвиг вверх на 2 единицы).

Начальная точка графика $(0,0)$ для $y = \sqrt{x}$ перемещается в точку $(2, 2)$.

1. Область определения $D(y)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

$D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений $E(y)$. Известно, что $\sqrt{2 - x} \ge 0$.

Умножая на -3, меняем знак неравенства: $-3\sqrt{2 - x} \le 0$.

Прибавляя 2, получаем: $-3\sqrt{2 - x} + 2 \le 2$.

Следовательно, $y \le 2$.

$E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.