Номер 5.13, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.13. Найдите корни уравнения:

1) $|x - 2| - 2|x + 1| = 4;$

2) $2|x - 1| - |x + 3| = -3.$

1) Решим уравнение $||x-2| - 2|x+1|| = 4$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $|x-2| - 2|x+1| = 4$ и $|x-2| - 2|x+1| = -4$. Для решения используем метод интервалов. Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x-2=0 \implies x=2$ и $x+1=0 \implies x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Сначала решим уравнение $|x-2| - 2|x+1| = 4$:

- При $x < -1$, оба модуля раскрываются со знаком минус: $-(x-2) - 2(-(x+1)) = 4 \implies -x+2+2x+2=4 \implies x+4=4 \implies x=0$. Этот корень не принадлежит промежутку $x < -1$.

- При $-1 \le x < 2$, первый модуль раскрывается со знаком минус, второй — с плюсом: $-(x-2) - 2(x+1) = 4 \implies -x+2-2x-2=4 \implies -3x=4 \implies x=-4/3$. Этот корень не принадлежит промежутку $[-1, 2)$.

- При $x \ge 2$, оба модуля раскрываются со знаком плюс: $(x-2) - 2(x+1) = 4 \implies x-2-2x-2=4 \implies -x-4=4 \implies x=-8$. Этот корень не принадлежит промежутку $x \ge 2$.

Следовательно, это уравнение не имеет корней.

Теперь решим уравнение $|x-2| - 2|x+1| = -4$:

- При $x < -1$: $-(x-2) - 2(-(x+1)) = -4 \implies x+4=-4 \implies x=-8$. Корень принадлежит промежутку $x < -1$, значит, является решением.

- При $-1 \le x < 2$: $-(x-2) - 2(x+1) = -4 \implies -3x=-4 \implies x=4/3$. Корень принадлежит промежутку $[-1, 2)$, значит, является решением.

- При $x \ge 2$: $(x-2) - 2(x+1) = -4 \implies -x-4=-4 \implies x=0$. Корень не принадлежит промежутку $x \ge 2$.

Корнями этого уравнения являются $x=-8$ и $x=4/3$.

Поскольку первое уравнение не имеет решений, корни исходного уравнения — это корни второго уравнения.

Ответ: $-8; 4/3$.

2) Решим уравнение $2|x-1| - |x+3| = -3$.

Для решения используем метод интервалов. Найдём точки, где подмодульные выражения равны нулю: $x-1=0 \implies x=1$ и $x+3=0 \implies x=-3$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка, на каждом из которых мы раскроем модули.

- При $x < -3$, оба модуля раскрываются со знаком минус.

$2(-(x-1)) - (-(x+3)) = -3$

$-2x+2+x+3 = -3$

$-x+5 = -3 \implies -x = -8 \implies x=8$.

Корень $x=8$ не принадлежит промежутку $x < -3$, следовательно, не является решением.

- При $-3 \le x < 1$, модуль $|x-1|$ раскрывается со знаком минус, а $|x+3|$ — со знаком плюс.

$2(-(x-1)) - (x+3) = -3$

$-2x+2-x-3 = -3$

$-3x-1 = -3 \implies -3x = -2 \implies x=2/3$.

Корень $x=2/3$ принадлежит промежутку $[-3, 1)$, следовательно, является решением.

- При $x \ge 1$, оба модуля раскрываются со знаком плюс.

$2(x-1) - (x+3) = -3$

$2x-2-x-3 = -3$

$x-5 = -3 \implies x=2$.

Корень $x=2$ принадлежит промежутку $x \ge 1$, следовательно, является решением.

Ответ: $2/3; 2$.