Номер 5.9, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.9. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2|x|}$;

2) $y = \sqrt{0.5|x|}$;

3) $y = -\sqrt{-4x}$;

4) $y = 2\sqrt{0.3x}$.

1) $y = \sqrt{2|x|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{2|x|}$ будем использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Функция $y = \sqrt{2|x|}$ является четной, так как $f(-x) = \sqrt{2|-x|} = \sqrt{2|x|} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

2. Сначала построим часть графика для $x \ge 0$. При $x \ge 0$ модуль $|x|$ равен $x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{2x}$.

3. График функции $y = \sqrt{2x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Это значит, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{x}$, то точка $(x_0/2, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{2x}$.Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2).Соответствующие точки на графике $y = \sqrt{2x}$ будут: (0, 0), (0.5, 1), (2, 2).

4. Теперь, используя свойство четности, отразим построенную часть графика (для $x \ge 0$) симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Точки на левой ветви будут, например, (-0.5, 1), (-2, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{2|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Правая ветвь ($x \ge 0$) является графиком функции $y=\sqrt{2x}$, который получается сжатием графика $y=\sqrt{x}$ к оси OY в 2 раза. Левая ветвь является зеркальным отражением правой относительно оси OY.

2) $y = \sqrt{0,5|x|}$

Построение этого графика аналогично предыдущему пункту, так как функция также является четной.

1. График функции $y = \sqrt{0,5|x|}$ симметричен относительно оси OY.

2. Построим часть графика для $x \ge 0$, где функция имеет вид $y = \sqrt{0,5x}$.

3. График функции $y = \sqrt{0,5x}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения по горизонтали (от оси OY) в $1/0,5 = 2$ раза. Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{x}$, то точка $(x_0/0.5, y_0) = (2x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \sqrt{0,5x}$.Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2).Соответствующие точки на графике $y = \sqrt{0,5x}$ будут: (0, 0), (2, 1), (8, 2).

4. Отразив построенную ветвь симметрично относительно оси OY, получим вторую ветвь графика для $x < 0$. Она будет проходить через точки (-2, 1), (-8, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{0,5|x|}$ симметричен относительно оси OY. Правая ветвь ($x \ge 0$) является графиком функции $y=\sqrt{0,5x}$, который получается растяжением графика $y=\sqrt{x}$ от оси OY в 2 раза. Левая ветвь является зеркальным отражением правой относительно оси OY.

3) $y = -\sqrt{-4x}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования графика $y = \sqrt{x}$. Область определения функции: $-4x \ge 0 \implies x \le 0$.

1. Начнем с графика $y = \sqrt{x}$. Его ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. Преобразуем его в график $y = \sqrt{-x}$. Это преобразование является симметричным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси OY. График будет расположен во второй координатной четверти. Ключевые точки: (0, 0), (-1, 1), (-4, 2).

3. Далее построим график $y = \sqrt{-4x}$. Его можно представить как $y = \sqrt{4(-x)} = 2\sqrt{-x}$. Этот график получается из графика $y = \sqrt{-x}$ путем растяжения по вертикали (от оси OX) в 2 раза. Ключевые точки станут: (0, 0), (-1, 2), (-4, 4).

4. Финальным шагом построим график $y = -\sqrt{-4x}$. Знак "минус" перед корнем означает симметричное отражение графика $y = \sqrt{-4x}$ относительно оси OX. График окажется в третьей координатной четверти. Ключевые точки: (0, 0), (-1, -2), (-4, -4).

Ответ: График функции $y = -\sqrt{-4x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем последовательных преобразований: симметричного отражения относительно оси OY, затем растяжения от оси OX в 2 раза и, наконец, симметричного отражения относительно оси OX. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в третьей четверти.

4) $y = 2\sqrt{0,3x}$

Построим график функции $y = 2\sqrt{0,3x}$, выполняя преобразования над графиком $y = \sqrt{x}$. Область определения: $0,3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

1. Начнем с графика $y = \sqrt{x}$.

2. Построим график функции $y = \sqrt{0,3x}$. Он получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем горизонтального растяжения от оси OY в $1/0,3 = 10/3$ раза. Найдем новые точки. Точкам (1, 1) и (9, 3) на исходном графике будут соответствовать точки $(10/3, 1)$ и $(9 \cdot 10/3, 3) = (30, 3)$ на новом графике. Чтобы получить более удобные целочисленные значения, можно рассмотреть точку $(10/3, 1)$ на графике $y=\sqrt{0,3x}$, так как $\sqrt{0,3 \cdot 10/3} = \sqrt{1} = 1$.

3. Теперь построим график $y = 2\sqrt{0,3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{0,3x}$ путем вертикального растяжения от оси OX в 2 раза. Каждая ордината точки умножается на 2.Ключевые точки для $y = 2\sqrt{0,3x}$:Начало в (0, 0).Точка $(10/3, 1)$ с предыдущего графика переходит в точку $(10/3, 2)$.Точка $(40/3, 2)$ на графике $y=\sqrt{0,3x}$ (т.к. $\sqrt{0,3 \cdot 40/3} = \sqrt{4} = 2$) перейдет в точку $(40/3, 4)$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{0,3x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем горизонтального растяжения от оси OY в $10/3$ раза с последующим вертикальным растяжением от оси OX в 2 раза. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в первой четверти.