Номер 5.11, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.11.Постройте график функции:

1) $y = |x^2 - 4|x| + 1|$;

2) $y = |-x^2 + 2|x| - 2|$;

3) $y = |\sqrt{|x|} - 2|$.

1) Построить график функции $y = |x^2 - 4|x| + 1|$.

1. Заметим, что функция является четной, так как $x$ входит в уравнение только в виде $|x|$ и $x^2 = |x|^2$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$.

2. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 4x + 1|$.

3. Сначала построим параболу $g(x) = x^2 - 4x + 1$. Ветви параболы направлены вверх.

- Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$.

- $y_0 = g(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. Вершина находится в точке $(2, -3)$.

- Найдем нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $x^2 - 4x + 1 = 0$.

- $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

- $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{12}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{3}) / 2 = 2 \pm \sqrt{3}$. Обе точки, $x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.27$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73$, принадлежат рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = g(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

4. Теперь построим график функции $y = |x^2 - 4x + 1|$ для $x \ge 0$. Для этого часть графика параболы $g(x)$, которая лежит ниже оси $Ox$ (где $x^2 - 4x + 1 < 0$, то есть при $x \in (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$), нужно симметрично отразить относительно оси $Ox$. Вершина $(2, -3)$ перейдет в точку $(2, 3)$, которая станет точкой локального максимума.

5. Наконец, отразим полученный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси $Oy$. Точка максимума $(2, 3)$ отразится в точку $(-2, 3)$. Точка $(0, 1)$ останется на месте и будет точкой локального минимума. Нули функции $2 \pm \sqrt{3}$ отразятся в точки $-(2 \pm \sqrt{3})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет два локальных максимума в точках $(-2, 3)$ и $(2, 3)$, и локальный минимум в точке $(0, 1)$. График пересекает ось $Ox$ (касается ее) в четырех точках: $x = \pm(2 - \sqrt{3})$ и $x = \pm(2 + \sqrt{3})$.

2) Построить график функции $y = |-x^2 + 2|x| - 2|$.

1. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = -x^2 + 2|x| - 2$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно переписать $g(x) = -|x|^2 + 2|x| - 2$.

2. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = -t^2 + 2t - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз.

- Найдем вершину параболы: $t_0 = -2 / (2 \cdot (-1)) = 1$.

- Максимальное значение функции $f(t)$ равно $f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.

- Поскольку максимальное значение функции $f(t)$ равно -1 (при $t=1$), то для всех $t \ge 0$ функция $f(t)$ принимает только отрицательные значения. Следовательно, выражение $g(x) = -x^2 + 2|x| - 2$ всегда отрицательно для любых действительных $x$.

3. Так как выражение под модулем всегда отрицательно, то $|g(x)| = -g(x)$. Таким образом, исходная функция упрощается:

$y = -(-x^2 + 2|x| - 2) = x^2 - 2|x| + 2$.

4. Теперь строим график функции $y = x^2 - 2|x| + 2$. Эта функция четная, так как зависит только от $|x|$ и $x^2$. График симметричен относительно оси $Oy$.

5. Построим график для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция имеет вид $y = x^2 - 2x + 2$.

- Это парабола, ветви которой направлены вверх. Выделим полный квадрат: $y = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.

- Вершина этой параболы находится в точке $(1, 1)$.

- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$.

6. Отразим построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Вершина $(1, 1)$ отразится в точку $(-1, 1)$. Точка $(0, 2)$ останется на месте. Для $x < 0$ график будет описываться функцией $y = x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он состоит из двух ветвей парабол. Минимальные значения достигаются в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. В точке $(0, 2)$ наблюдается "излом" (локальный максимум).

3) Построить график функции $y = |\sqrt{4|x|} - 2|$.

1. Упростим выражение под модулем: $\sqrt{4|x|} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{|x|} = 2\sqrt{|x|}$. Таким образом, функция имеет вид $y = |2\sqrt{|x|} - 2|$.

2. Функция является четной, так как $x$ входит в уравнение только под знаком модуля. График функции симметричен относительно оси $Oy$. Построим его для $x \ge 0$ и отразим.

3. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |2\sqrt{x} - 2|$. Область определения для этой части: $x \ge 0$.

4. Сначала построим график функции $g(x) = 2\sqrt{x} - 2$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$ и смещенный на 2 единицы вниз по оси $Oy$.

- Начальная точка графика (при $x=0$): $y = 2\sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

- Найдем точку пересечения с осью $Ox$: $2\sqrt{x} - 2 = 0 \implies 2\sqrt{x} = 2 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$. Точка $(1, 0)$.

- Для контроля возьмем еще одну точку: при $x=4$, $y = 2\sqrt{4} - 2 = 2 \cdot 2 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$.

5. Теперь построим график $y = |2\sqrt{x} - 2|$ для $x \ge 0$. Часть графика $g(x)$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $0 \le x < 1$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

- Точка $(0, -2)$ переходит в точку $(0, 2)$.

- Часть графика для $x \ge 1$ остается на месте, так как там $g(x) \ge 0$.

- В точке $(1, 0)$ будет "излом" графика.

6. Отразим полученный для $x \ge 0$ график симметрично относительно оси $Oy$.

- Точка $(0, 2)$ лежит на оси симметрии.

- Точка излома $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.

- Точка $(4, 2)$ отразится в точку $(-4, 2)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет локальный максимум (излом) в точке $(0, 2)$ и два минимума (также изломы) в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, где он касается оси $Ox$.