Номер 5.8, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.8. Найдите число общих точек графиков функций:

1) $y = (2 - x)^2$ и $y = \sqrt{0.4x}$;

2) $y = -(2x - 3)^2$ и $y = -\sqrt{0.6x}$.

1) Чтобы найти число общих точек графиков функций $y = (2 - x)^2$ и $y = \sqrt{0.4x}$, необходимо определить количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = (2 - x)^2 \\ y = \sqrt{0.4x} \end{cases}$

Для нахождения общих точек приравняем правые части уравнений:

$(2 - x)^2 = \sqrt{0.4x}$

Проанализируем графики обеих функций.

Функция $y = (2 - x)^2$ — это парабола. Так как $(2 - x)^2 = (x - 2)^2$, её вершина находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх. Значения этой функции всегда неотрицательны, $y \ge 0$.

Функция $y = \sqrt{0.4x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $0.4x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Значения этой функции также неотрицательны, $y \ge 0$.

Сравним поведение графиков, чтобы определить количество точек пересечения:

1. При $x = 0$ значение первой функции $y = (2 - 0)^2 = 4$. Значение второй функции $y = \sqrt{0.4 \cdot 0} = 0$. В этой точке график параболы находится выше графика корня.

2. При $x = 2$ (вершина параболы) значение первой функции $y = (2 - 2)^2 = 0$. Значение второй функции $y = \sqrt{0.4 \cdot 2} = \sqrt{0.8} \approx 0.89$. В этой точке график параболы находится ниже графика корня.

Поскольку обе функции непрерывны, а в точке $x=0$ парабола выше, а в точке $x=2$ — ниже, то на интервале $(0, 2)$ должно быть как минимум одно пересечение. На этом интервале парабола убывает, а функция корня возрастает, поэтому пересечение может быть только одно.

3. При $x > 2$ обе функции возрастают. В точке $x=2$ парабола находится ниже. Однако при больших значениях $x$ квадратичная функция $y=(x-2)^2$ растет значительно быстрее, чем функция $y=\sqrt{0.4x}$. Это означает, что график параболы неизбежно пересечет график функции корня еще раз и станет выше него. После этого второго пересечения они больше не встретятся.

Таким образом, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: 2.

2) Чтобы найти число общих точек графиков функций $y = -(2x - 3)^2$ и $y = -\sqrt{0.6x}$, необходимо определить количество решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = -(2x - 3)^2 \\ y = -\sqrt{0.6x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-(2x - 3)^2 = -\sqrt{0.6x}$

$(2x - 3)^2 = \sqrt{0.6x}$

Проанализируем графики обеих функций.

Функция $y = -(2x - 3)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке, где $2x-3=0$, то есть $x=1.5$. Координаты вершины: $(1.5, 0)$. Значения функции всегда неположительны, $y \le 0$.

Функция $y = -\sqrt{0.6x}$ — это нижняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно убывает. Значения функции также неположительны, $y \le 0$.

Сравним поведение графиков при $x \ge 0$:

1. При $x = 0$ значение первой функции $y = -(2 \cdot 0 - 3)^2 = -9$. Значение второй функции $y = -\sqrt{0.6 \cdot 0} = 0$. В этой точке график параболы находится ниже.

2. При $x = 1.5$ (вершина параболы) значение первой функции $y = -(2 \cdot 1.5 - 3)^2 = 0$. Значение второй функции $y = -\sqrt{0.6 \cdot 1.5} = -\sqrt{0.9} \approx -0.95$. В этой точке график параболы находится выше.

На интервале $(0, 1.5)$ парабола возрастает (от -9 до 0), а функция корня убывает (от 0 до ≈ -0.95). Поскольку в $x=0$ парабола ниже, а в $x=1.5$ — выше, и обе функции непрерывны, на этом интервале существует ровно одна точка пересечения.

3. При $x > 1.5$ обе функции убывают. В точке $x=1.5$ парабола находится выше графика корня. Однако при больших значениях $x$ квадратичная функция $y=-(2x-3)^2$ убывает гораздо быстрее (стремится к $-\infty$), чем функция $y=-\sqrt{0.6x}$. Следовательно, график параболы должен пересечь график функции корня еще раз и уйти ниже. После этого второго пересечения они больше не встретятся.

Таким образом, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: 2.