Объясните, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \frac{2}{0,25(x + 1)} - 3$, преобразуя график функции $y = \frac{1}{x}$ (рис.6.1)?

1)

Растяжение вдоль оси Ox в 4 раза

2)

Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза

3)

Рис. 6.1

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево вдоль оси Ox на 1

4)

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вниз вдоль оси Oy на 3

5)

Рис. 6.1

Для построения графика функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$ из графика функции $y = \frac{1}{x}$ выполняются следующие последовательные преобразования:

1) Исходным является график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, расположенная в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: Построен график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2) Растяжение вдоль оси Ox в 4 раза

Чтобы из функции $y = f(x) = \frac{1}{x}$ получить функцию $y = \frac{1}{0,25x}$, необходимо аргумент $x$ заменить на $kx$, где $k=0,25$. Преобразование вида $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $0 < k < 1$ соответствует растяжению графика вдоль оси абсцисс (Ox) в $\frac{1}{k}$ раз. В данном случае растяжение происходит в $\frac{1}{0,25} = 4$ раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(4x_0, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(4, 1)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ растягивается в 4 раза вдоль оси Ox, в результате чего получается график функции $y = \frac{1}{0,25x}$.

3) Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза

Для перехода от функции $y = g(x) = \frac{1}{0,25x}$ к функции $y = \frac{2}{0,25x}$ необходимо всю функцию умножить на коэффициент $a=2$. Преобразование вида $g(x) \rightarrow a \cdot g(x)$ при $a > 1$ соответствует растяжению графика вдоль оси ординат (Oy) в $a$ раз. В данном случае растяжение происходит в 2 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ смещается в точку $(x_0, 2y_0)$. Например, точка $(4, 1)$ переходит в точку $(4, 2)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{0,25x}$ растягивается в 2 раза вдоль оси Oy, в результате чего получается график функции $y = \frac{2}{0,25x}$.

4) Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) влево вдоль оси Ox на 1

Чтобы из функции $y = h(x) = \frac{2}{0,25x}$ получить функцию $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$, необходимо аргумент $x$ заменить на $(x+1)$. Преобразование вида $h(x) \rightarrow h(x+c)$ при $c > 0$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика влево вдоль оси Ox на $c$ единиц. В данном случае $c=1$, поэтому график сдвигается влево на 1. Вертикальная асимптота $x=0$ смещается в положение $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{0,25x}$ сдвигается влево на 1 единицу вдоль оси Ox, в результате чего получается график функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$.

5) Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вниз вдоль оси Oy на 3

Для перехода от функции $y = p(x) = \frac{2}{0,25(x+1)}$ к итоговой функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$ необходимо из всей функции вычесть число 3. Преобразование вида $p(x) \rightarrow p(x) - d$ при $d > 0$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вниз вдоль оси Oy на $d$ единиц. В данном случае $d=3$, поэтому график сдвигается вниз на 3. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в положение $y=-3$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)}$ сдвигается вниз на 3 единицы вдоль оси Oy, в результате чего получается искомый график функции $y = \frac{2}{0,25(x+1)} - 3$.