Номер 6.6, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.6. Используя график функции $y = \sqrt{x}$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{2x-4}-1$;

2) $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$;

3) $y = -2\sqrt{6+3x}+4$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Сначала приведем данную функцию к стандартному виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Для этого вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня:

$y = 2\sqrt{2(x-2)} - 1$.

Из этого вида мы можем определить коэффициенты преобразования: $k=2$ (вертикальное растяжение), $a=2$ (горизонтальное сжатие), $n=-2$ (сдвиг по оси OX), $m=-1$ (сдвиг по оси OY).

Алгоритм построения графика функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси ОХ.

2. Выполнить сжатие графика $y = \sqrt{x}$ к оси OY в 2 раза. Получим график функции $y = \sqrt{2x}$.

3. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{2x}$ вдоль оси OX на 2 единицы вправо. Получим график функции $y = \sqrt{2(x-2)}$.

4. Растянуть полученный график $y = \sqrt{2(x-2)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{2(x-2)}$.

5. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{2(x-2)}$ вдоль оси OY на 1 единицу вниз. Получим искомый график функции $y = 2\sqrt{2(x-2)} - 1$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ в результате этих преобразований переместится в точку $(2;-1)$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{2x-4} - 1$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем последовательного применения следующих преобразований: сжатие к оси OY в 2 раза, сдвиг вправо на 2 единицы, растяжение от оси OX в 2 раза и сдвиг вниз на 1 единицу.

2) Для построения графика функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$ выполним преобразования над графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Приведем функцию к виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Сначала поменяем слагаемые местами для удобства: $y = 2\sqrt{3-2x} + 1$. Затем вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня:

$y = 2\sqrt{-2(x - \frac{3}{2})} + 1$ или $y = 2\sqrt{-2(x - 1.5)} + 1$.

Коэффициенты преобразования: $k=2$, $a=-2$, $n=-1.5$, $m=1$. Отрицательное значение $a$ указывает на отражение относительно оси OY.

Алгоритм построения графика функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Отразить график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY. Получим график функции $y = \sqrt{-x}$.

3. Сжать полученный график $y = \sqrt{-x}$ к оси OY в 2 раза. Получим график функции $y = \sqrt{-2x}$.

4. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{-2x}$ вдоль оси OX на 1.5 единицы вправо. Получим график функции $y = \sqrt{-2(x-1.5)}$.

5. Растянуть полученный график $y = \sqrt{-2(x-1.5)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)}$.

6. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)}$ вдоль оси OY на 1 единицу вверх. Получим искомый график функции $y = 2\sqrt{-2(x-1.5)} + 1$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ переместится в точку $(1.5;1)$.

Ответ: График функции $y = 1 + 2\sqrt{3-2x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, сжатия к оси OY в 2 раза, сдвига вправо на 1.5 единицы, растяжения от оси OX в 2 раза и сдвига вверх на 1 единицу.

3) Для построения графика функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$ выполним преобразования над графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Приведем функцию к виду $y = k\sqrt{a(x+n)} + m$. Вынесем коэффициент при $x$ из-под знака корня: $6+3x = 3(x+2)$.

$y = -2\sqrt{3(x+2)} + 4$.

Коэффициенты преобразования: $k=-2$, $a=3$, $n=2$, $m=4$. Отрицательное значение $k$ указывает на отражение относительно оси OX.

Алгоритм построения графика функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$.

2. Сжать график $y = \sqrt{x}$ к оси OY в 3 раза. Получим график функции $y = \sqrt{3x}$.

3. Сдвинуть полученный график $y = \sqrt{3x}$ вдоль оси OX на 2 единицы влево. Получим график функции $y = \sqrt{3(x+2)}$.

4. Отразить полученный график $y = \sqrt{3(x+2)}$ симметрично относительно оси OX. Получим график функции $y = -\sqrt{3(x+2)}$.

5. Растянуть полученный график $y = -\sqrt{3(x+2)}$ от оси OX в 2 раза. Получим график функции $y = -2\sqrt{3(x+2)}$.

6. Сдвинуть полученный график $y = -2\sqrt{3(x+2)}$ вдоль оси OY на 4 единицы вверх. Получим искомый график функции $y = -2\sqrt{3(x+2)} + 4$.

Начальная точка графика $(0;0)$ для $y=\sqrt{x}$ переместится в точку $(-2;4)$.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{6+3x} + 4$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сжатия к оси OY в 3 раза, сдвига влево на 2 единицы, отражения относительно оси OX, растяжения от оси OX в 2 раза и сдвига вверх на 4 единицы.