Номер 6.1, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) f(x) = 2 + ¼(x-1)

График функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ можно построить, последовательно применяя преобразования к графику базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Базовый график. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y_1 = \frac{1}{x-1}$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. При этом вертикальная асимптота смещается на 1 единицу вправо и становится прямой $x=1$.

3. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $f(x) = \frac{1}{x-1} + 2$, необходимо сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \frac{1}{x-1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. При этом горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

В итоге, график функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ — это гипербола с центром симметрии в точке (1; 2), с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = 2$, то $y = 2 + \frac{1}{2-1} = 2 + 1 = 3$. Точка (2; 3).

- если $x = 0$, то $y = 2 + \frac{1}{0-1} = 2 - 1 = 1$. Точка (0; 1) (пересечение с осью Oy).

- если $y = 0$, то $0 = 2 + \frac{1}{x-1} \Rightarrow \frac{1}{x-1} = -2 \Rightarrow x-1 = -0.5 \Rightarrow x = 0.5$. Точка (0.5; 0) (пересечение с осью Ox).

Ответ: График функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Новые асимптоты: $x=1$, $y=2$.

2) f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}

График функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$, которую можно записать как $f(x) = -\frac{1}{x+2} + 3$, строится на основе графика $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований.

1. Базовый график. Строим гиперболу $y = \frac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Для получения графика $y_1 = \frac{1}{x+2}$ сдвигаем базовый график на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота становится $x=-2$.

3. Симметричное отражение. Для получения графика $y_2 = -\frac{1}{x+2}$ отражаем график $y_1$ симметрично относительно оси Ox. Ветви гиперболы, которые были в I и III "новых" четвертях (относительно асимптот $x=-2, y=0$), теперь переместятся во II и IV.

4. Вертикальный сдвиг. Для получения итогового графика $f(x) = -\frac{1}{x+2} + 3$ сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота становится $y=3$.

В итоге, график функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$ — это гипербола с центром симметрии в точке (-2; 3), с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных II и IV относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = -1$, то $y = 3 - \frac{1}{-1+2} = 3 - 1 = 2$. Точка (-1; 2).

- если $x = -3$, то $y = 3 - \frac{1}{-3+2} = 3 - (-1) = 4$. Точка (-3; 4).

- если $x = 0$, то $y = 3 - \frac{1}{0+2} = 3 - 0.5 = 2.5$. Точка (0; 2.5) (пересечение с осью Oy).

Ответ: График функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x+2}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево, симметричного отражения относительно оси Ox и сдвига на 3 единицы вверх. Новые асимптоты: $x=-2$, $y=3$.

3) f(x) = \frac{1}{x-3} - 2

График функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ можно построить, последовательно применяя преобразования к графику базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Базовый график. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика: $x=0$ и $y=0$.

2. Горизонтальный сдвиг. Чтобы получить график функции $y_1 = \frac{1}{x-3}$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=3$.

3. Вертикальный сдвиг. Чтобы получить график функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$, необходимо сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \frac{1}{x-3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=-2$.

В итоге, график функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ — это гипербола с центром симметрии в точке (3; -2), с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III относительно новых асимптот.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:

- если $x = 4$, то $y = \frac{1}{4-3} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (4; -1).

- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2-3} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка (2; -3).

- если $y = 0$, то $0 = \frac{1}{x-3} - 2 \Rightarrow \frac{1}{x-3} = 2 \Rightarrow x-3 = 0.5 \Rightarrow x = 3.5$. Точка (3.5; 0) (пересечение с осью Ox).

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x-3} - 2$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Новые асимптоты: $x=3$, $y=-2$.