Номер 6.8, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.8. Используя график функции $y = \frac{1}{|x|}$ и алгоритм построения графика функции $y = k f(a(x+n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = 2 + \frac{1}{|x-2|}$;

2) $y = -3 + \frac{1}{|x+3|}$;

3) $y = -2 - \frac{2}{|x+4|}$.

1) $y = 2 + \frac{1}{|x - 2|}$

Для построения графика этой функции мы будем использовать метод последовательных геометрических преобразований базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$. График базовой функции $y = \frac{1}{|x|}$ представляет собой две ветви, симметричные относительно оси OY. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Ключевые точки, через которые он проходит: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Заданную функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{|x - 2|} + 2$, что соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=1$, $a=1$, $n=-2$ и $m=2$. Таким образом, для получения искомого графика нужно выполнить следующие преобразования:

1. Горизонтальный сдвиг. График функции $y = \frac{1}{|x|}$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси OX. В результате получаем график функции $y_1 = \frac{1}{|x - 2|}$. Вертикальная асимптота при этом смещается из $x=0$ в $x=2$.

2. Вертикальный сдвиг. Полученный график $y_1 = \frac{1}{|x - 2|}$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси OY. В результате получаем итоговый график функции $y = \frac{1}{|x - 2|} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=2$.

Таким образом, итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. Ветви графика расположены над горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{|x - 2|}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

2) $y = -3 + \frac{1}{|x + 3|}$

Построение этого графика также основано на преобразовании базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$.

Заданную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{|x + 3|} - 3$. Это соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=1$, $a=1$, $n=3$ и $m=-3$. Преобразования выполняются следующим образом:

1. Горизонтальный сдвиг. График функции $y = \frac{1}{|x|}$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси OX (так как $x+3 = x - (-3)$). Получаем график функции $y_1 = \frac{1}{|x + 3|}$. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-3$.

2. Вертикальный сдвиг. Полученный график $y_1 = \frac{1}{|x + 3|}$ сдвигается на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Получаем итоговый график функции $y = \frac{1}{|x + 3|} - 3$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=-3$.

Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=-3$. Ветви графика расположены над горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = -3 + \frac{1}{|x + 3|}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси OX и на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=-3$.

3) $y = -2 - \frac{2}{|x + 4|}$

В этом случае преобразования базовой функции $f(x) = \frac{1}{|x|}$ включают растяжение и отражение.

Заданную функцию можно представить в виде $y = -2 \cdot \frac{1}{|x + 4|} - 2$. Это соответствует общей формуле $y = k \cdot f(a(x+n)) + m$ при $k=-2$, $a=1$, $n=4$ и $m=-2$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Горизонтальный сдвиг. Сдвигаем график $y = \frac{1}{|x|}$ на 4 единицы влево, чтобы получить график $y_1 = \frac{1}{|x + 4|}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-4$.

2. Вертикальное растяжение и отражение. Умножаем функцию на коэффициент $k=-2$. Это приводит к растяжению графика $y_1$ в 2 раза от оси OX и последующему симметричному отражению относительно оси OX. Получаем график $y_2 = -2 \cdot \frac{1}{|x + 4|} = -\frac{2}{|x+4|}$. После этого преобразования ветви графика, которые были направлены вверх, теперь будут направлены вниз.

3. Вертикальный сдвиг. Сдвигаем полученный график $y_2$ на 2 единицы вниз, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{2}{|x + 4|} - 2$. Горизонтальная асимптота, которая после отражения оставалась на $y=0$, смещается в положение $y=-2$.

Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=-4$ и горизонтальную асимптоту $y=-2$. Ветви графика расположены под горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = -2 - \frac{2}{|x + 4|}$ получается из графика $y = \frac{1}{|x|}$ путем последовательного применения преобразований: сдвиг влево на 4 единицы, растяжение вдоль оси OY в 2 раза, отражение относительно оси OX и затем сдвиг вниз на 2 единицы. Вертикальная асимптота: $x=-4$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.