Номер 6.11, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.11. Найдите область определения функции:

1)

$y = \frac{3}{x-3} + \sqrt{\frac{2x-3}{x^2-4}}$;

2)

$y = \frac{5x}{2x-3} + \sqrt{\frac{1-2x}{2x^2-18}}$.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому она определена, когда определены оба слагаемых.

1. Для слагаемого $\frac{3}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

2. Для слагаемого $\sqrt{\frac{2x-3}{x^2-4}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0$.

Таким образом, область определения функции задается системой условий:

$ \begin{cases} x - 3 \neq 0 \\ \frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0 \end{cases} $

Решим неравенство $\frac{2x-3}{x^2-4} \ge 0$ методом интервалов. Разложим знаменатель на множители: $\frac{2x-3}{(x-2)(x+2)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$.

Нули знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$; $x+2=0 \implies x=-2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=-2$ и $x=2$ (нули знаменателя) выкалываем, а точку $x=1.5$ (нуль числителя) включаем в решение, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

— на интервале $(2; +\infty)$: выражение положительно (например, при $x=10$ имеем $\frac{+}{+} > 0$).

— на интервале $(1.5; 2)$: выражение отрицательно (например, при $x=1.8$ имеем $\frac{+}{-} < 0$).

— на интервале $(-2; 1.5)$: выражение положительно (например, при $x=0$ имеем $\frac{-}{-} > 0$).

— на интервале $(-\infty; -2)$: выражение отрицательно (например, при $x=-10$ имеем $\frac{-}{+} < 0$).

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение неотрицательно: $x \in (-2; 1.5] \cup (2; +\infty)$.

Теперь учтем первое условие $x \neq 3$. Число 3 входит в промежуток $(2; +\infty)$, поэтому его нужно исключить.

Итоговая область определения функции: $(-2; 1.5] \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-2; 1.5] \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения функции находится из условий, при которых оба слагаемых имеют смысл.

1. Для слагаемого $\frac{5x}{2x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $2x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 1.5$.

2. Для слагаемого $\sqrt{\frac{1-2x}{2x^2-18}}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0$.

Таким образом, область определения функции задается системой условий:

$ \begin{cases} 2x - 3 \neq 0 \\ \frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство $\frac{1-2x}{2x^2-18} \ge 0$. Упростим его: $\frac{1-2x}{2(x^2-9)} \ge 0$. Так как $2>0$, неравенство равносильно $\frac{1-2x}{x^2-9} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $1-2x=0 \implies x = 0.5$.

Нули знаменателя: $x^2-9=0 \implies x=-3, x=3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=-3$ и $x=3$ (нули знаменателя) выкалываем, а точку $x=0.5$ (нуль числителя) включаем в решение.

Определим знаки выражения на каждом интервале:

— на интервале $(3; +\infty)$: выражение отрицательно (например, при $x=4$ имеем $\frac{-}{+} < 0$).

— на интервале $(0.5; 3)$: выражение положительно (например, при $x=1$ имеем $\frac{-}{-} > 0$).

— на интервале $(-3; 0.5)$: выражение отрицательно (например, при $x=0$ имеем $\frac{+}{-} < 0$).

— на интервале $(-\infty; -3)$: выражение положительно (например, при $x=-4$ имеем $\frac{+}{+} > 0$).

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение неотрицательно: $x \in (-\infty; -3) \cup [0.5; 3)$.

Теперь учтем первое условие $x \neq 1.5$. Число 1.5 входит в промежуток $[0.5; 3)$, поэтому его нужно исключить.

Итоговая область определения функции: $(-\infty; -3) \cup [0.5; 1.5) \cup (1.5; 3)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup [0.5; 1.5) \cup (1.5; 3)$.