Объясните, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Если функция задана табличным способом, то как по таблице можно установить, является функция возрастающей или убывающей или не является ни возрастающей, ни убывающей?

Для того чтобы по таблице определить характер монотонности функции (является ли она возрастающей, убывающей или ни той, ни другой), необходимо последовательно сравнить значения функции $y=f(x)$ при возрастании значений аргумента $x$. Важно убедиться, что значения аргумента $x$ в таблице упорядочены по возрастанию (от меньшего к большему). Если это не так, их следует мысленно или физически переупорядочить вместе с соответствующими им значениями функции.

Как определить, что функция возрастающая

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Применительно к таблице это означает, что при движении по строке (или столбцу) со значениями аргумента $x$ от меньшего к большему, соответствующие значения функции $y$ также должны строго увеличиваться. То есть, каждому большему значению $x$ соответствует большее значение $y$. Если эта тенденция сохраняется для всех пар точек в таблице, то можно сделать вывод, что на данном наборе точек функция является возрастающей.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице соответствующие значения функции $y$ также всё время увеличиваются, то функция является возрастающей (на заданном множестве точек).

Как определить, что функция убывающая

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

В таблице это проявляется так: при движении по упорядоченным по возрастанию значениям аргумента $x$, соответствующие значения функции $y$ должны строго уменьшаться. Каждому большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Если такая тенденция наблюдается для всех пар точек, то на заданном наборе функция убывающая.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице соответствующие значения функции $y$ всё время уменьшаются, то функция является убывающей (на заданном множестве точек).

Как определить, что функция не является ни возрастающей, ни убывающей

Если при анализе таблицы вы обнаруживаете, что на одном промежутке между точками значения функции увеличиваются, а на другом — уменьшаются (или наоборот), то такая функция не является монотонной, то есть ни возрастающей, ни убывающей на всем заданном множестве точек.

Это означает, что найдутся такие значения $x_1 < x_2 < x_3$, для которых, например, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, но при этом $f(x_2) > f(x_3)$. Нарушение единой тенденции (только роста или только убывания) говорит об отсутствии монотонности.

Ответ: Если при увеличении значений аргумента $x$ в таблице значения функции $y$ то увеличиваются, то уменьшаются, то функция не является ни возрастающей, ни убывающей.