Объясните, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

1) Почему функции $y = x^4$; $y = x^6$; $y = x^8$; $y = x^{10}$; $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число, являются четными функциями?

2) Почему график четной функции симметричен относительно оси $Oy$ (осевая симметрия) рис. 7.10?

Рис. 7.10

1) Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения при этом должна быть симметрична относительно нуля.

Рассмотрим общую функцию $y = f(x) = x^{2n}$, где $n$ – натуральное число.

1. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n}$

Поскольку показатель степени $2n$ является четным числом для любого натурального $n$ ($n \in N$), то при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

$(-x)^{2n} = ((-1) \cdot x)^{2n} = (-1)^{2n} \cdot x^{2n} = 1 \cdot x^{2n} = x^{2n}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{2n} = f(x)$.

Так как условие четности $f(-x) = f(x)$ выполняется, то функция $y = x^{2n}$ является четной. Функции $y = x^4, y = x^6, y = x^8, y = x^{10}$ являются частными случаями функции $y = x^{2n}$ при $n=2, 3, 4, 5$ соответственно, и поэтому они также являются четными.

Ответ: Данные функции являются четными, так как их область определения симметрична относительно нуля и для любой из этих функций $f(x) = x^{2n}$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = f(x)$.

2) График функции представляет собой множество всех точек с координатами $(x, f(x))$.

По определению, функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Пусть точка $M$ с координатами $(x, f(x))$ принадлежит графику четной функции $y = f(x)$.

Рассмотрим точку $M'$ с абсциссой $-x$. Ее ордината будет равна $f(-x)$. Поскольку функция четная, то $f(-x) = f(x)$. Следовательно, координаты точки $M'$ равны $(-x, f(x))$.

Таким образом, если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, y)$ также принадлежит этому графику.

Точки с координатами $(x, y)$ и $(-x, y)$ симметричны друг другу относительно оси ординат (оси $Oy$). Так как это справедливо для любой точки графика четной функции, то и весь график в целом симметричен относительно оси $Oy$. Это свойство и называется осевой симметрией, что проиллюстрировано на рис. 7.10.

Ответ: График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, потому что для каждой точки $(x, f(x))$, принадлежащей графику, на графике также существует симметричная ей относительно оси $Oy$ точка $(-x, f(x))$, так как по определению четной функции $f(-x) = f(x)$.