Номер 7.3, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.3.1) $y = x^2 - 4$ при $x \ge 2$; 2) $y = -x^2 + 2$ при $x \le -3;

3) $y = -\frac{4}{x}$ при $x \le -4$; 4) $y = -\frac{3}{x}$ при $x \ge 3.$

1) Чтобы найти множество значений функции $y = x^2 - 4$ на промежутке $x \ge 2$, проанализируем ее поведение. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -4)$. На промежутке $x \ge 2$ функция является строго возрастающей, так как этот промежуток находится правее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой граничной точке, то есть при $x=2$. Вычислим это значение: $y(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение $y$ также стремится к $+\infty$, верхнего предела у функции нет. Таким образом, множество значений функции на данном промежутке — это все числа от 0 включительно и до бесконечности.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2$ на промежутке $x \le -3$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$. На промежутке $x \le -3$, который находится левее вершины, функция является строго убывающей. Это значит, что наибольшее значение на этом промежутке функция примет в его правой граничной точке, то есть при $x=-3$. Вычислим это значение: $y(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$. При $x \to -\infty$ значение $y$ будет стремиться к $-\infty$. Таким образом, множество значений функции — это все числа от минус бесконечности до -7 включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -7]$.

3) Функция $y = -\frac{4}{x}$ является гиперболой с ветвями во II и IV координатных четвертях. Мы рассматриваем промежуток $x \le -4$, который является частью ветви во II четверти. На этом промежутке функция является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает в правой граничной точке, при $x=-4$: $y(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$. Чтобы найти нижнюю границу множества значений, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$. Предел функции равен $\lim_{x \to -\infty} (-\frac{4}{x}) = 0$. Поскольку $x$ в данном промежутке отрицателен, дробь $-\frac{4}{x}$ всегда положительна, то есть $y>0$. Значит, функция стремится к 0 снизу, не достигая этого значения. Таким образом, множество значений — это полуинтервал от 0 до 1.

Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

4) Функция $y = -\frac{3}{x}$ является гиперболой с ветвями во II и IV координатных четвертях. Нас интересует промежуток $x \ge 3$, который является частью ветви в IV четверти. На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке, при $x=3$: $y(3) = -\frac{3}{3} = -1$. Чтобы найти верхнюю границу, рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$. Предел функции равен $\lim_{x \to +\infty} (-\frac{3}{x}) = 0$. Поскольку $x$ в данном промежутке положителен, дробь $-\frac{3}{x}$ всегда отрицательна, то есть $y<0$. Значит, функция стремится к 0 снизу, не достигая этого значения. Таким образом, множество значений — это полуинтервал от -1 до 0.

Ответ: $E(y) = [-1; 0)$.