Номер 7.8, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 1.5 + 6x$, где $-2 \leq x \leq 1$;

2) $y = -0.8x + 10$, где $-5 \leq x < 4$;

3) $y = 11 - x^2$, где $2 < x \leq 7$;

4) $y = x^2 + 5.4$, где $-3 \leq x \leq -2$;

5) $y = \sqrt{x} + 5$, где $9 \leq x \leq 16$;

6) $y = -\sqrt{x} + 4$, где $0 < x \leq 4$;

7) $y = \frac{6}{x}$, где $0.5 \leq x < 3$;

8) $y = \frac{4}{x}$, где $-8 \leq x \leq -5$;

9) $y = -|x| - 8.5$, где $-7 \leq x \leq -3$;

10) $y = |x| + 1.6$, где $2 < x \leq 9$.

1) Дана функция $y = 1,5 + 6x$ на отрезке $[-2; 1]$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=6$. Так как $k > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей области определения, включая и заданный отрезок. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной.

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = 1,5 + 6 \cdot (-2) = 1,5 - 12 = -10,5$.

Наибольшее значение при $x = 1$:

$y_{наиб} = 1,5 + 6 \cdot 1 = 1,5 + 6 = 7,5$.

Ответ: наименьшее значение $-10,5$, наибольшее значение $7,5$.

2) Дана функция $y = -0,8x + 10$ на полуинтервале $[-5; 4)$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-0,8$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x = -5$.

$y_{наиб} = -0,8 \cdot (-5) + 10 = 4 + 10 = 14$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в конечной точке $x=4$, но эта точка не включена в интервал ($x<4$). По мере приближения $x$ к $4$, значение $y$ стремится к $-0,8 \cdot 4 + 10 = -3,2 + 10 = 6,8$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $4$, функция никогда не принимает значение $6,8$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $14$, наименьшего значения не существует.

3) Дана функция $y = 11 - x^2$ на полуинтервале $(2; 7]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $x=0$. На заданном интервале $(2; 7]$, который находится правее вершины, функция является монотонно убывающей. Наименьшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=7$:

$y_{наим} = 11 - 7^2 = 11 - 49 = -38$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=2$, но эта точка не включена в интервал ($x>2$). По мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $11 - 2^2 = 11 - 4 = 7$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $2$, функция никогда не принимает значение $7$. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $-38$, наибольшего значения не существует.

4) Дана функция $y = x^2 + 5,4$ на отрезке $[-3; -2]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $x=0$. На заданном отрезке $[-3; -2]$, который находится левее вершины, функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-3$, а наименьшее — в конечной точке $x=-2$.

Наибольшее значение при $x = -3$:

$y_{наиб} = (-3)^2 + 5,4 = 9 + 5,4 = 14,4$.

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = (-2)^2 + 5,4 = 4 + 5,4 = 9,4$.

Ответ: наименьшее значение $9,4$, наибольшее значение $14,4$.

5) Дана функция $y = \sqrt{x} + 5$ на отрезке $[9; 16]$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей при $x \ge 0$. Следовательно, функция $y = \sqrt{x} + 5$ также является возрастающей. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=9$:

$y_{наим} = \sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8$.

Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=16$:

$y_{наиб} = \sqrt{16} + 5 = 4 + 5 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $8$, наибольшее значение $9$.

6) Дана функция $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4]$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей, а значит функция $g(x) = -\sqrt{x}$ является убывающей. Следовательно, функция $y = -\sqrt{x} + 4$ также является монотонно убывающей. Наименьшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=4$:

$y_{наим} = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=0$, но эта точка не включена в интервал ($x>0$). По мере приближения $x$ к $0$, значение $y$ стремится к $-\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $0$, функция никогда не принимает значение $4$. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшего значения не существует.

7) Дана функция $y = \frac{6}{x}$ на полуинтервале $[0,5; 3)$. Это функция обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=6 > 0$. На интервале $(0; +\infty)$ функция является монотонно убывающей. Наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=0,5$:

$y_{наиб} = \frac{6}{0,5} = 12$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в конечной точке $x=3$, но эта точка не включена в интервал ($x<3$). По мере приближения $x$ к $3$, значение $y$ стремится к $\frac{6}{3} = 2$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $3$, функция никогда не принимает значение $2$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $12$, наименьшего значения не существует.

8) Дана функция $y = \frac{4}{x}$ на отрезке $[-8; -5]$. Это функция обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4 > 0$. На интервале $(-\infty; 0)$ функция является монотонно убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-8$, а наименьшее — в конечной точке $x=-5$.

Наибольшее значение при $x = -8$:

$y_{наиб} = \frac{4}{-8} = -0,5$.

Наименьшее значение при $x = -5$:

$y_{наим} = \frac{4}{-5} = -0,8$.

Ответ: наименьшее значение $-0,8$, наибольшее значение $-0,5$.

9) Дана функция $y = -|x| - 8,5$ на отрезке $[-7; -3]$. На заданном отрезке все значения $x$ отрицательны, поэтому $|x| = -x$. Подставим это в функцию: $y = -(-x) - 8,5 = x - 8,5$. Получилась линейная функция с угловым коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, она является возрастающей на этом отрезке. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке отрезка $x=-7$:

$y_{наим} = -7 - 8,5 = -15,5$.

Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=-3$:

$y_{наиб} = -3 - 8,5 = -11,5$.

Ответ: наименьшее значение $-15,5$, наибольшее значение $-11,5$.

10) Дана функция $y = |x| + 1,6$ на полуинтервале $(2; 9]$. На заданном интервале все значения $x$ положительны, поэтому $|x| = x$. Подставим это в функцию: $y = x + 1,6$. Получилась линейная функция с угловым коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, она является возрастающей на этом интервале. Наибольшее значение функция принимает в конечной точке отрезка $x=9$:

$y_{наиб} = 9 + 1,6 = 10,6$.

Наименьшее значение функция должна была бы принять в начальной точке $x=2$, но эта точка не включена в интервал ($x>2$). По мере приближения $x$ к $2$, значение $y$ стремится к $2 + 1,6 = 3,6$. Однако, поскольку $x$ никогда не достигает $2$, функция никогда не принимает значение $3,6$. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $10,6$, наименьшего значения не существует.