Объясните, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему точки $x = -1$ и $x = 4$ являются точками максимума, а точка $x = 2$ — точкой минимума (рис. 7.15)?

Равны ли максимум и минимум функции на рисунке 7.16?

Почему точки $x = -1$ и $x = 4$ являются точками максимума, а точка $x = 2$ — точкой минимума (рис. 7.15)?

Точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из данной окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Простыми словами, в точке максимума значение функции больше, чем в любой из соседних точек. Графически это выглядит как «вершина холма». При переходе через точку максимума функция сменяет свое поведение с возрастания на убывание. Если функция дифференцируема, то в этой точке ее производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−».

Исходя из этого, точки $x = -1$ и $x = 4$ являются точками максимума, так как в них (судя по условию, относящемуся к рис. 7.15) функция перестает возрастать и начинает убывать.

Точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из данной окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Это означает, что в точке минимума значение функции меньше, чем в любой из соседних точек. Графически это выглядит как «впадина». При переходе через точку минимума функция сменяет свое поведение с убывания на возрастание. Если функция дифференцируема, то в этой точке ее производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+».

Следовательно, точка $x = 2$ является точкой минимума, потому что в ней убывание функции сменяется возрастанием.

Ответ: Точки $x = -1$ и $x = 4$ являются точками максимума, потому что в них возрастание функции сменяется убыванием. Точка $x = 2$ является точкой минимума, потому что в ней убывание функции сменяется возрастанием.

Равны ли максимум и минимум функции на рисунке 7.16?

Максимум и минимум функции — это, соответственно, ее наибольшее и наименьшее значения (либо на всем множестве определения, либо в некоторой локальной окрестности). Для того чтобы максимум функции был равен ее минимуму, необходимо, чтобы ее наибольшее значение совпадало с ее наименьшим значением.

Такая ситуация возможна только в одном случае: когда функция является постоянной (константой), то есть имеет вид $f(x) = C$, где $C$ — некоторое число. Графиком такой функции является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

Для постоянной функции $f(x) = C$ в любой точке ее значение равно $C$. Таким образом, ее наибольшее значение (максимум) равно $C$, и ее наименьшее значение (минимум) тоже равно $C$. В этом случае $y_{max} = y_{min} = C$.

Если же функция не является постоянной, то на ее графике всегда можно найти точки с разными значениями, и ее максимум всегда будет строго больше ее минимума ($y_{max} > y_{min}$). Учитывая постановку вопроса, весьма вероятно, что на рисунке 7.16 изображена именно постоянная функция.

Ответ: Да, максимум и минимум функции могут быть равны. Это происходит в том и только в том случае, если функция является постоянной (например, $f(x) = 5$). Ее график — это горизонтальная прямая.