Номер 6.12, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.12. Докажите, что функция $y = f(x)$ возрастает, если:

1) $f(x) = x^2 - 2x$ на множестве $[1; +\infty)$;

2) $f(x) = x^2 + 4x$ на множестве $[-2; +\infty)$;

3) $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ на множестве $(-\infty 1]$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 - 2x$ возрастает на множестве $[1; +\infty)$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in [1; +\infty)$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = x_2^2 - x_1^2 - 2(x_2 - x_1)$.

Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, то их сумма $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, множитель $(x_2 + x_1 - 2) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ были выбраны произвольно, это доказывает, что функция $f(x)$ возрастает на множестве $[1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + 4x$ возрастает на множестве $[-2; +\infty)$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in [-2; +\infty)$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 - x_1^2 + 4(x_2 - x_1)$.

Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 \ge -2$ и $x_2 > -2$, то их сумма $x_1 + x_2 > -2 + (-2) = -4$. Следовательно, множитель $(x_2 + x_1 + 4) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, и функция $f(x)$ возрастает на множестве $[-2; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ возрастает на множестве $(-\infty; 1]$, необходимо показать, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем произвольные $x_1, x_2 \in (-\infty; 1]$ так, что $x_2 > x_1$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (-x_2^2 + 2x_2 + 4) - (-x_1^2 + 2x_1 + 4) = -x_2^2 + x_1^2 + 2x_2 - 2x_1$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$-(x_2^2 - x_1^2) + 2(x_2 - x_1) = -(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(2 - (x_2 + x_1)) = (x_2 - x_1)(2 - x_2 - x_1)$.

Оценим знак полученного выражения. По условию $x_2 > x_1$, значит множитель $(x_2 - x_1) > 0$.

Так как $x_1 < 1$ и $x_2 \le 1$, то их сумма $x_1 + x_2 < 1 + 1 = 2$. Следовательно, $2 - (x_1 + x_2) > 0$, то есть множитель $(2 - x_2 - x_1) > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом, поэтому $f(x_2) - f(x_1) > 0$. Отсюда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$, и функция $f(x)$ возрастает на множестве $(-\infty; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.