Номер 6.5, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.5. Используя график функции $y=f(x)$ и алгоритм построения графика функции $y=kf(a(x+n))+m$, постройте график функции:

1) $y = 2 - \frac{3}{x-2}$;

2) $y = 2 + \frac{1}{x+3}$;

3) $y = -2 - \frac{1}{x+4}$.

В основе всех заданных функций лежит график обратной пропорциональности (гипербола) $y = f(x) = \frac{1}{x}$. Алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$ заключается в последовательном применении преобразований к базовому графику $y=f(x)$:

• сдвиг по горизонтали на $n$ единиц (влево, если $n > 0$, и вправо, если $n < 0$);
• растяжение/сжатие по горизонтали в $a$ раз (в задаче $a=1$);
• растяжение/сжатие по вертикали в $k$ раз и отражение относительно оси Ox, если $k<0$;
• сдвиг по вертикали на $m$ единиц (вверх, если $m > 0$, и вниз, если $m < 0$).

1) $y = 2 - \frac{3}{x-2}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$. В нашем случае базовая функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = -3 \cdot \frac{1}{x-2} + 2$

Отсюда видно, что $k=-3$, $n=-2$ (т.к. в формуле $x+n$, а у нас $x-2$), $m=2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. Применяем коэффициент $k=-3$. График функции $y = \frac{-3}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 3 раза и симметричного отражения относительно оси Ox. Теперь ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вправо (так как $n=-2$). График функции $y = \frac{-3}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=2$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх (так как $m=2$). График функции $y = \frac{-3}{x-2} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=2$.

Ответ: График функции $y = 2 - \frac{3}{x-2}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ следующими преобразованиями: отражение относительно оси Ox, растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, сдвиг на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Асимптоты итогового графика: $x=2$, $y=2$.

2) $y = 2 + \frac{1}{x+3}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = 1 \cdot \frac{1}{x+3} + 2$

Отсюда видно, что $k=1$, $n=3$, $m=2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с ветвями в I и III четвертях, асимптоты $x=0$, $y=0$).

2. Так как $k=1$, растяжения и отражения нет.

3. Сдвигаем график на 3 единицы влево (так как $n=3$). Получаем график $y = \frac{1}{x+3}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-3$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх (так как $m=2$). Получаем итоговый график $y = \frac{1}{x+3} + 2$. Горизонтальная асимптота смещается в $y=2$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x+3}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх. Асимптоты итогового графика: $x=-3$, $y=2$.

3) $y = -2 - \frac{1}{x+4}$

Запишем функцию в стандартном виде $y = kf(x+n)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$.

$y = -1 \cdot \frac{1}{x+4} - 2$

Отсюда видно, что $k=-1$, $n=4$, $m=-2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Применяем коэффициент $k=-1$. График функции $y = \frac{-1}{x}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Ветви гиперболы теперь расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график на 4 единицы влево (так как $n=4$). Получаем график $y = \frac{-1}{x+4}$. Вертикальная асимптота смещается в $x=-4$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз (так как $m=-2$). Получаем итоговый график $y = \frac{-1}{x+4} - 2$. Горизонтальная асимптота смещается в $y=-2$.

Ответ: График функции $y = -2 - \frac{1}{x+4}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путем отражения относительно оси Ox, сдвига на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз. Асимптоты итогового графика: $x=-4$, $y=-2$.