Вопросы, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Сформулируйте алгоритм построения графика функции: 1) $y = 3f(x + 2) + 1$; 2) $y = 3f(x - 2) - 1$; 3) $y = -f(-x + 1)$; 4) $y = 2f(2x + 2)$, используя график функции $y = f(x)$.

2. Приведите пример функции, полученной из графика функции $y = f(x)$ его:

1) растяжением вдоль оси $Ox$ и сжатием вдоль оси $Oy$;

2) перемещением вправо вдоль оси $Ox$ и вверх вдоль оси $Oy$;

3) сжатием и перемещением влево вдоль оси $Ox$;

4) растяжением и перемещением вниз вдоль оси $Oy$.

1) $y = 3f(x + 2) + 1$

Для построения графика функции $y = 3f(x + 2) + 1$, исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сдвиг (параллельный перенос) графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. В результате получится график функции $y = f(x + 2)$.

2. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза. Это означает, что ордината каждой точки графика умножается на 3. В результате получится график функции $y = 3f(x + 2)$.

3. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. В результате получится искомый график функции $y = 3f(x + 2) + 1$.

Ответ: Алгоритм состоит из трех шагов: сдвиг исходного графика на 2 единицы влево, затем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, и в завершение сдвиг на 1 единицу вверх.

2) $y = 3f(x - 2) - 1$

Для построения графика функции $y = 3f(x - 2) - 1$, исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сдвиг графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(x - 2)$.

2. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза. Ордината каждой точки графика умножается на 3. Получится график функции $y = 3f(x - 2)$.

3. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Получится искомый график функции $y = 3f(x - 2) - 1$.

Ответ: Алгоритм состоит из трех шагов: сдвиг исходного графика на 2 единицы вправо, затем растяжение вдоль оси Oy в 3 раза, и в завершение сдвиг на 1 единицу вниз.

3) $y = -f(-x + 1)$

Для построения графика функции $y = -f(-x + 1)$, представим ее в виде $y = -f(-(x - 1))$. Исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить симметричное отражение графика $y = f(x)$ относительно оси Oy. Абсцисса каждой точки графика меняет знак. Получится график функции $y = f(-x)$.

2. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(-(x - 1)) = f(-x + 1)$.

3. Выполнить симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Ордината каждой точки графика меняет знак. Получится искомый график функции $y = -f(-x + 1)$.

Ответ: Алгоритм: отражение исходного графика относительно оси Oy, затем сдвиг на 1 единицу вправо, и в завершение отражение относительно оси Ox.

4) $y = 2f(2x + 2)$

Для построения графика функции $y = 2f(2x + 2)$, представим ее в виде $y = 2f(2(x + 1))$. Исходя из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующую последовательность преобразований:

1. Выполнить сжатие графика $y = f(x)$ к оси Oy (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика делится на 2. Получится график функции $y = f(2x)$.

2. Выполнить сдвиг полученного графика на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получится график функции $y = f(2(x + 1)) = f(2x + 2)$.

3. Выполнить растяжение полученного графика от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Ордината каждой точки умножается на 2. Получится искомый график функции $y = 2f(2x + 2)$.

Ответ: Алгоритм: сжатие исходного графика к оси Oy в 2 раза, затем сдвиг на 1 единицу влево, и в завершение растяжение от оси Ox в 2 раза.

1) растяжением вдоль оси Ox и сжатием вдоль оси Oy;

Растяжение графика вдоль оси Ox в $k$ раз ($k>1$) соответствует замене в функции аргумента $x$ на $\frac{x}{k}$. Сжатие графика вдоль оси Oy в $m$ раз ($m>1$) соответствует умножению функции на коэффициент $a = \frac{1}{m}$. Для примера выберем растяжение в 2 раза ($k=2$) и сжатие в 3 раза ($m=3$).

Ответ: $y = \frac{1}{3}f(\frac{x}{2})$

2) перемещением вправо вдоль оси Ox и вверх вдоль оси Oy;

Перемещение графика вправо на $c$ единиц ($c>0$) соответствует замене аргумента $x$ на $x-c$. Перемещение вверх на $d$ единиц ($d>0$) соответствует прибавлению к функции константы $d$. Для примера выберем сдвиг вправо на 5 единиц ($c=5$) и сдвиг вверх на 2 единицы ($d=2$).

Ответ: $y = f(x - 5) + 2$

3) сжатием и перемещением влево вдоль оси Ox;

Сжатие графика вдоль оси Ox в $k$ раз ($k>1$) и перемещение влево на $c$ единиц ($c>0$) достигаются преобразованием аргумента функции к виду $k(x+c)$. Для примера выберем сжатие в 4 раза ($k=4$) и сдвиг влево на 1 единицу ($c=1$).

Ответ: $y = f(4(x + 1))$

4) растяжением и перемещением вниз вдоль оси Oy.

Растяжение графика вдоль оси Oy в $a$ раз ($a>1$) соответствует умножению функции на $a$. Перемещение вниз на $d$ единиц ($d>0$) соответствует вычитанию из функции константы $d$. Для примера выберем растяжение в 2 раза ($a=2$) и сдвиг вниз на 3 единицы ($d=3$).

Ответ: $y = 2f(x) - 3$