Номер 5.10, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*5.10. Используя графики функций, найдите число корней уравнения:

1) $x^2 - 2|x| = \frac{1}{|x|}$;

2) $-x^2 + 4|x| = -\sqrt{2|x|}$.

1) Чтобы найти число корней уравнения $x^2 - 2|x| = \frac{1}{|x|}$, мы построим графики двух функций в одной системе координат и найдём количество точек их пересечения.

Пусть $y_1 = x^2 - 2|x|$ и $y_2 = \frac{1}{|x|}$.

Рассмотрим функцию $y_1 = x^2 - 2|x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, можно записать $y_1 = |x|^2 - 2|x|$. Эта функция является чётной, так как $y_1(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = y_1(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.

Построим часть графика для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $x^2 - 2x = 0$, то есть $x(x-2)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$.

Для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую вершину в точке $(-1, -1)$ и пересечение с осью Ox в точке $x=-2$. График функции $y_1$ напоминает букву 'W'.

Теперь рассмотрим функцию $y_2 = \frac{1}{|x|}$. Эта функция также является чётной, так как $y_2(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y_2(x)$, и её график симметричен относительно оси Oy. Область определения: $x \ne 0$. Все значения функции положительны ($y_2 > 0$).

Для $x > 0$ функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в первой координатной четверти. При $x \to 0^+$, $y_2 \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y_2 \to 0$.

Для $x < 0$ график симметрично отражается и представляет собой ветвь гиперболы во второй координатной четверти.

Теперь найдём точки пересечения. График $y_2 = \frac{1}{|x|}$ полностью лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$). График $y_1 = x^2 - 2|x|$ находится в верхней полуплоскости, когда $x^2 - 2|x| > 0$, то есть $|x|(|x|-2) > 0$. Так как $|x| \ge 0$, это неравенство выполняется при $|x| > 2$, то есть для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Следовательно, пересечения могут быть только в этих интервалах.

Рассмотрим интервал $x > 2$. Здесь функция $y_1 = x^2 - 2x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{1}{x}$ убывает. В точке $x=2$, $y_1(2)=0$, а $y_2(2)=\frac{1}{2}$. При увеличении $x$ (например, при $x=3$) $y_1(3)=3$, а $y_2(3)=\frac{1}{3}$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, и в точке $x=2$ $y_1 < y_2$, а при достаточно большом $x$ $y_1 > y_2$, то на интервале $(2, +\infty)$ существует ровно одна точка пересечения.

В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, такая же ситуация будет и на интервале $(-\infty, -2)$. Там также будет ровно одна точка пересечения.

Таким образом, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2

2) Чтобы найти число корней уравнения $-x^2 + 4|x| = -\sqrt{2|x|}$, мы построим графики двух функций в одной системе координат и найдём количество точек их пересечения.

Пусть $y_1 = -x^2 + 4|x|$ и $y_2 = -\sqrt{2|x|}$.

Рассмотрим функцию $y_1 = -x^2 + 4|x|$. Эта функция является чётной, так как $y_1(-x) = -(-x)^2 + 4|-x| = -x^2 + 4|x| = y_1(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.

Построим часть графика для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты её вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$, $y_v = -(2^2) + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $-x^2 + 4x = 0$, то есть $-x(x-4)=0$, откуда $x=0$ и $x=4$.

Для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую вершину в точке $(-2, 4)$ и пересечение с осью Ox в точке $x=-4$. График функции $y_1$ напоминает букву 'M'.

Теперь рассмотрим функцию $y_2 = -\sqrt{2|x|}$. Эта функция также является чётной, так как $y_2(-x) = -\sqrt{2|-x|} = -\sqrt{2|x|} = y_2(x)$. Область определения — все действительные числа. Все значения функции неположительны ($y_2 \le 0$).

Для $x \ge 0$ функция имеет вид $y_2 = -\sqrt{2x}$. Её график — это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox, расположенная в четвёртой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$ и уходит вниз.

Для $x < 0$ график симметрично отражается и представляет собой кривую в третьей координатной четверти.

Теперь найдём точки пересечения. Проверим точку $x=0$: $y_1(0) = -0^2 + 4|0| = 0$ и $y_2(0) = -\sqrt{2|0|} = 0$. Значит, $x=0$ является одним из корней, а точка $(0, 0)$ — одна из точек пересечения.

Рассмотрим $x > 0$. График $y_1 = -x^2 + 4x$ лежит в нижней полуплоскости ($y<0$) при $x>4$. График $y_2 = -\sqrt{2x}$ всегда лежит в нижней полуплоскости для $x>0$. Следовательно, другие точки пересечения для $x>0$ могут существовать только при $x>4$.

В точке $x=4$ имеем: $y_1(4)=0$, а $y_2(4) = -\sqrt{2 \cdot 4} = -\sqrt{8} \approx -2.82$.

При $x > 4$ обе функции убывают. Однако, парабола $y_1 = -x^2+4x$ убывает значительно быстрее, чем функция $y_2 = -\sqrt{2x}$. Например, при $x=8$: $y_1(8) = -8^2 + 4 \cdot 8 = -64+32 = -32$, а $y_2(8) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$.

Поскольку в точке $x=4$ график $y_1$ находится выше графика $y_2$ ($0 > -\sqrt{8}$), а при $x=8$ график $y_1$ находится ниже графика $y_2$ ($-32 < -4$), и обе функции непрерывны, то на интервале $(4, +\infty)$ должна быть ровно одна точка пересечения.

В силу симметрии обоих графиков относительно оси Oy, существует ещё одна точка пересечения на интервале $(-\infty, -4)$.

Таким образом, всего имеется три точки пересечения: одна при $x=0$, одна при $x>4$ и одна при $x<-4$.

Ответ: 3