Номер 5.6, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.6. Заданы координаты вершин прямоугольника ABCK — $A(0; 0)$, $B(0; 4)$, $C(6; 4)$, $K(6; 0)$. Выполните растяжение или сжатие вдоль оси $Ox$ или $Oy$ прямоугольника так, чтобы получился квадрат.

Задан прямоугольник ABCK с координатами вершин A(0; 0), B(0; 4), C(6; 4), K(6; 0). Найдем длины его сторон, лежащих на осях координат.

Длина стороны AK, лежащей на оси Ox, равна разности абсцисс точек K и A: $|AK| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = 6$.

Длина стороны AB, лежащей на оси Oy, равна разности ординат точек B и A: $|AB| = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4$.

Поскольку стороны прямоугольника не равны ($6 \ne 4$), для получения квадрата необходимо изменить длину одной из сторон так, чтобы она стала равна длине другой. Это можно сделать двумя способами.

1. Сжатие вдоль оси Ox

Чтобы получить квадрат, можно сжать прямоугольник вдоль оси Ox так, чтобы его сторона длиной 6 стала равна 4. Для этого необходимо все абсциссы (координаты x) точек умножить на коэффициент сжатия $k$.

Найдем коэффициент сжатия $k$: $k \cdot 6 = 4 \implies k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Формулы преобразования координат: $x' = \frac{2}{3}x$, $y' = y$. Применим это преобразование к каждой вершине:

A(0; 0) $\rightarrow$ A'( $\frac{2}{3} \cdot 0$; 0) = A'(0; 0)

B(0; 4) $\rightarrow$ B'( $\frac{2}{3} \cdot 0$; 4) = B'(0; 4)

C(6; 4) $\rightarrow$ C'( $\frac{2}{3} \cdot 6$; 4) = C'(4; 4)

K(6; 0) $\rightarrow$ K'( $\frac{2}{3} \cdot 6$; 0) = K'(4; 0)

В результате получился квадрат A'B'C'K' со стороной 4.

Ответ: необходимо выполнить сжатие вдоль оси Ox с коэффициентом $k = 2/3$. Новые координаты вершин: A'(0; 0), B'(0; 4), C'(4; 4), K'(4; 0).

2. Растяжение вдоль оси Oy

Чтобы получить квадрат, можно растянуть прямоугольник вдоль оси Oy так, чтобы его сторона длиной 4 стала равна 6. Для этого необходимо все ординаты (координаты y) точек умножить на коэффициент растяжения $k$.

Найдем коэффициент растяжения $k$: $k \cdot 4 = 6 \implies k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Формулы преобразования координат: $x' = x$, $y' = \frac{3}{2}y$. Применим это преобразование к каждой вершине:

A(0; 0) $\rightarrow$ A''(0; $\frac{3}{2} \cdot 0$) = A''(0; 0)

B(0; 4) $\rightarrow$ B''(0; $\frac{3}{2} \cdot 4$) = B''(0; 6)

C(6; 4) $\rightarrow$ C''(6; $\frac{3}{2} \cdot 4$) = C''(6; 6)

K(6; 0) $\rightarrow$ K''(6; $\frac{3}{2} \cdot 0$) = K''(6; 0)

В результате получился квадрат A''B''C''K'' со стороной 6.

Ответ: необходимо выполнить растяжение вдоль оси Oy с коэффициентом $k = 3/2$. Новые координаты вершин: A''(0; 0), B''(0; 6), C''(6; 6), K''(6; 0).