Номер 4.16, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.16. Найдите корни уравнения:

1)

$|x + 3| = |2 - x|;$

2)

$|x - 4| - |x - 2| = -2;$

3)

$|x - 3| + 2|x + 1| = 4.$

46

1) Дано уравнение $|x + 3| = |2 - x|$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x + 3 = 2 - x$

2) $x + 3 = -(2 - x)$

Решим первое уравнение:

$x + x = 2 - 3$

$2x = -1$

$x = -0.5$

Решим второе уравнение:

$x + 3 = x - 2$

$3 = -2$

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае корней нет.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = -0.5$.

2) Дано уравнение $|x - 4| - |x - 2| = -2$.

Для решения этого уравнения раскроем модули на разных промежутках. Нули подмодульных выражений: $x = 4$ и $x = 2$. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2)$, $[2, 4)$ и $[4, \infty)$.

1. Если $x < 2$, то $x-4 < 0$ и $x-2 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 4) - (-(x - 2)) = -2$

$-x + 4 + x - 2 = -2$

$2 = -2$

Это неверное равенство, значит, на этом промежутке корней нет.

2. Если $2 \le x < 4$, то $x-4 < 0$ и $x-2 \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 4) - (x - 2) = -2$

$-x + 4 - x + 2 = -2$

$-2x + 6 = -2$

$-2x = -8$

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ не принадлежит интервалу $[2, 4)$.

3. Если $x \ge 4$, то $x-4 \ge 0$ и $x-2 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(x - 4) - (x - 2) = -2$

$x - 4 - x + 2 = -2$

$-2 = -2$

Это верное равенство, значит, все значения $x$ из этого промежутка являются решениями уравнения.

Объединяя результаты, получаем, что решением является промежуток $[4, \infty)$.

Ответ: $x \in [4, \infty)$.

3) Дано уравнение $|x - 3| + 2|x + 1| = 4$.

Раскроем модули на интервалах, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -1$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $[-1, 3)$ и $[3, \infty)$.

1. Если $x < -1$, то $x-3 < 0$ и $x+1 < 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 3) + 2(-(x + 1)) = 4$

$-x + 3 - 2x - 2 = 4$

$-3x + 1 = 4$

$-3x = 3$

$x = -1$

Значение $x=-1$ не входит в промежуток $x < -1$, поэтому на этом интервале решений нет.

2. Если $-1 \le x < 3$, то $x-3 < 0$ и $x+1 \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$-x + 3 + 2x + 2 = 4$

$x + 5 = 4$

$x = -1$

Значение $x=-1$ принадлежит промежутку $[-1, 3)$, следовательно, является корнем уравнения.

3. Если $x \ge 3$, то $x-3 \ge 0$ и $x+1 > 0$. Уравнение принимает вид:

$(x - 3) + 2(x + 1) = 4$

$x - 3 + 2x + 2 = 4$

$3x - 1 = 4$

$3x = 5$

$x = 5/3$

Значение $x=5/3$ (примерно 1.67) не принадлежит промежутку $x \ge 3$, поэтому не является решением.

Единственным корнем уравнения является $x=-1$.

Ответ: $x = -1$.