Номер 4.15, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.15. Докажите тождество:

1) $\cos^2(180^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) - \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}(180^\circ + x) = 0;$

2) $\frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$

1) Докажем тождество: $ \cos^2(180^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) - \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}(180^\circ + x) = 0 $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

1. $ \cos(180^\circ - x) = -\cos x $. Так как угол $ 180^\circ - x $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а при $ 180^\circ $ функция не меняется. Тогда $ \cos^2(180^\circ - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x $.

2. $ \cos(270^\circ + x) = \sin x $. Так как угол $ 270^\circ + x $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а при $ 270^\circ $ функция меняется на кофункцию. Тогда $ \cos^2(270^\circ + x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x $.

3. $ \text{ctg}(180^\circ + x) = \text{ctg}\,x $. Так как угол $ 180^\circ + x $ находится в третьей четверти, где котангенс положителен, а при $ 180^\circ $ функция не меняется.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ \cos^2 x + \sin^2 x - \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и тождество $ \text{tg}\,x \cdot \text{ctg}\,x = 1 $:

$ 1 - 1 = 0 $

Получили $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

1. $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $. Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Тогда $ \cos^2(\pi + \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

2. $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, где косинус положителен, а при $ \frac{\pi}{2} $ функция меняется на кофункцию.

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\cos^2\alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $ и подставим его в числитель дроби:

$ \frac{1 - \sin^2\alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 1 $):

$ (1 + \sin \alpha) - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha $

Упростим выражение:

$ 1 + \sin \alpha - \sin\alpha + \text{tg}^2\alpha = 1 + \text{tg}^2\alpha $

Используем еще одно основное тригонометрическое тождество $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} $

Левая часть равна правой: $ \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.