Номер 4.12, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите аналитическую формулу этой функции.

Постройте графики функций (4.12—4.13):

4.12.1) $y = \left| \frac{2}{|x-1|} \right|$;

2) $y = \left| \frac{1}{|1-x|} \right|$;

3) $y = \left| \frac{-3}{|x+2|} \right|$.

4.12.1) $y = |\frac{2}{x-1}|$

Сначала запишем аналитическую формулу функции, раскрыв модуль. Используем свойство модуля $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

$y = |\frac{2}{x-1}| = \frac{|2|}{|x-1|} = \frac{2}{|x-1|}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

По определению модуля:

$|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 > 0 \implies x > 1 \\ -(x-1) = 1-x, & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Следовательно, функция может быть записана в кусочном виде:

$y = \begin{cases} \frac{2}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{2}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

Для построения графика функции $y = \frac{2}{|x-1|}$ выполним следующие шаги:

1. Построим график функции $y_1 = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

2. Сместим график $y_1$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y_2 = \frac{2}{x-1}$. Вертикальная асимптота сместится в $x=1$. Горизонтальная асимптота останется $y=0$. При $x > 1$, $y_2 > 0$; при $x < 1$, $y_2 < 0$.

3. Чтобы получить график исходной функции $y = |\frac{2}{x-1}| = |y_2|$, нужно часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (где $y_2 < 0$, то есть при $x < 1$), отразить симметрично относительно оси Ox. Часть графика, которая уже находится выше оси Ox (при $x > 1$), остаётся без изменений.

В итоге, график функции $y = \frac{2}{|x-1|}$ будет состоять из двух ветвей, обе расположены выше оси Ox. Вертикальная асимптота – прямая $x=1$. Горизонтальная асимптота – прямая $y=0$. Контрольные точки: (2, 2), (3, 1), (0, 2), (-1, 1).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{2}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{2}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

2) $y = |\frac{1}{1-x}|$

Запишем аналитическую формулу, раскрыв модуль. Используем свойства $|-a|=|a|$ и $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

$y = |\frac{1}{1-x}| = \frac{|1|}{|1-x|} = \frac{1}{|-(x-1)|} = \frac{1}{|x-1|}$

Область определения функции: $x \ne 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Раскрывая модуль $|x-1|$, как в предыдущем задании, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

Построение графика аналогично предыдущему пункту. График функции $y=\frac{1}{|x-1|}$ получается из графика $y=\frac{1}{x}$ следующими преобразованиями:

1. Сдвигаем график $y_1 = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо, чтобы получить график $y_2 = \frac{1}{x-1}$. Вертикальная асимптота $x=1$.

2. Отражаем отрицательную часть графика $y_2$ (при $x<1$) симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Контрольные точки: (2, 1), (0, 1), (1.5, 2), (0.5, 2).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{при } x > 1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{при } x < 1 \end{cases}$.

3) $y = |\frac{-3}{x+2}|$

Запишем аналитическую формулу, раскрыв модуль.

$y = |\frac{-3}{x+2}| = \frac{|-3|}{|x+2|} = \frac{3}{|x+2|}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Раскроем модуль в знаменателе:

$|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{если } x+2 > 0 \implies x > -2 \\ -(x+2), & \text{если } x+2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$

Следовательно, функция имеет вид:

$y = \begin{cases} \frac{3}{x+2}, & \text{при } x > -2 \\ \frac{3}{-(x+2)} = \frac{-3}{x+2}, & \text{при } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика функции $y = \frac{3}{|x+2|}$ выполним преобразования. Построим график функции $y_2 = \frac{3}{x+2}$ путем сдвига графика $y_1 = \frac{3}{x}$ на 2 единицы влево. Затем, часть графика $y_2$, расположенную ниже оси Ox (при $x < -2$), отразим симметрично относительно оси Ox. Часть графика при $x > -2$ уже положительна и остается на месте.

В результате получим график с двумя ветвями над осью Ox, с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Контрольные точки: (-1, 3), (1, 1), (-3, 3), (-5, 1).

Ответ: Аналитическая формула: $y = \begin{cases} \frac{3}{x+2}, & \text{при } x > -2 \\ \frac{-3}{x+2}, & \text{при } x < -2 \end{cases}$.