Номер 4.5, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.5. Используя преобразования, постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3$;

2) $y = 0,5x^2 + 2$;

3) $y = 2(x-2)^2$;

4) $y = -2x^2 - 1,5$.

1) $y = 2x^2 - 3$

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 3$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Растяжение. Сначала построим график функции $y_1 = 2x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Y) в 2 раза. Это значит, что каждая ордината (y-координата) точки на графике $y = x^2$ умножается на 2, а абсцисса (x-координата) остается без изменений. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$ на базовой параболе преобразуются в точки $(1, 2)$ и $(2, 8)$. Вершина параболы $(0, 0)$ остается на месте.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Далее, чтобы получить график функции $y = 2x^2 - 3$, нужно сдвинуть график $y_1 = 2x^2$ на 3 единицы вниз вдоль оси Y. Это преобразование соответствует вычитанию 3 из каждой ординаты. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

В итоге мы получаем параболу, идентичную параболе $y = 2x^2$, но с вершиной в точке $(0, -3)$. Ветви параболы направлены вверх.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3$ получается из графика $y = x^2$ путем его растяжения вдоль оси Y в 2 раза с последующим сдвигом на 3 единицы вниз.

2) $y = 0,5x^2 + 2$

Для построения графика функции $y = 0,5x^2 + 2$ также используем преобразования графика параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Сжатие. Сначала строим график функции $y_1 = 0,5x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем сжатия вдоль оси Y в 2 раза (или растяжения с коэффициентом 0,5). Каждая ордината точки на графике $y = x^2$ умножается на 0,5. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$ преобразуются в точки $(1, 0.5)$ и $(2, 2)$. Парабола становится "шире". Вершина $(0, 0)$ не изменяет своего положения.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Чтобы получить график функции $y = 0,5x^2 + 2$, нужно сдвинуть график $y_1 = 0,5x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси Y. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

В результате получаем параболу, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = 0,5x^2 + 2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сжатия вдоль оси Y в 2 раза с последующим сдвигом на 2 единицы вверх.

3) $y = 2(x-2)^2$

Для построения графика функции $y = 2(x-2)^2$ выполним преобразования над графиком параболы $y = x^2$.

Шаг 1: Сдвиг по горизонтали. Сначала построим график функции $y_1 = (x-2)^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси X). Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Шаг 2: Растяжение. Теперь построим график функции $y = 2(x-2)^2$. Он получается из графика $y_1 = (x-2)^2$ путем растяжения вдоль оси Y в 2 раза. Ордината каждой точки умножается на 2. Вершина $(2, 0)$ остается на месте, так как ее y-координата равна нулю. Другие точки, например, $(3, 1)$ и $(1, 1)$ на графике $y_1$, преобразуются в точки $(3, 2)$ и $(1, 2)$.

Полученный график — это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Ответ: График функции $y = 2(x-2)^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сдвига на 2 единицы вправо с последующим растяжением вдоль оси Y в 2 раза.

4) $y = -2x^2 - 1,5$

Для построения графика функции $y = -2x^2 - 1,5$ выполним несколько преобразований над графиком $y = x^2$.

Шаг 1: Растяжение и отражение. Сначала построим график функции $y_1 = -2x^2$. Это преобразование можно разбить на два:

а) Растяжение графика $y = x^2$ вдоль оси Y в 2 раза, получаем $y = 2x^2$.

б) Симметричное отражение графика $y = 2x^2$ относительно оси X. Ветви параболы теперь будут направлены вниз. Вершина остается в точке $(0, 0)$.

Шаг 2: Сдвиг по вертикали. Чтобы получить искомый график $y = -2x^2 - 1,5$, сдвигаем график $y_1 = -2x^2$ на 1,5 единицы вниз вдоль оси Y. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -1,5)$.

Итоговый график — это парабола с вершиной в точке $(0, -1,5)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 - 1,5$ получается из графика $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси Y в 2 раза, отражения относительно оси X и последующего сдвига на 1,5 единицы вниз.