Номер 3.18, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.18. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 3}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{-2x + 3}{x - 2}}$;

3) $y = \sqrt{\frac{3x - 4}{2 - x}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ x+3 \ne 0 \end{cases} $

Условие $x \ne -3$ автоматически учитывается при решении неравенства, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Решим неравенство $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$ методом интервалов.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка исключается из решения, так как на ноль делить нельзя.

Наносим точки на числовую ось и определяем знаки дроби в полученных интервалах:

- Для интервала $(-\infty, -3)$, возьмём $x=-4$: $\frac{-4-2}{-4+3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(-3, 2)$, возьмём $x=0$: $\frac{0-2}{0+3} = -\frac{2}{3} < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы и точку $x=2$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [2, \infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{\frac{-2x+3}{x-2}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{-2x+3}{x-2} \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

$-2x+3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$. Точка включается в решение.

$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка исключается.

Наносим точки на числовую ось и проверяем знаки в интервалах:

- Для интервала $(-\infty, 1.5)$, возьмём $x=0$: $\frac{-2(0)+3}{0-2} = -\frac{3}{2} < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(1.5, 2)$, возьмём $x=1.6$: $\frac{-2(1.6)+3}{1.6-2} = \frac{-3.2+3}{-0.4} = \frac{-0.2}{-0.4} = 0.5 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{-2(3)+3}{3-2} = \frac{-6+3}{1} = -3 < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, решением является полуинтервал.

Ответ: $x \in [1.5, 2)$.

3) Для функции $y = \sqrt{\frac{3x-4}{2-x}}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$\frac{3x-4}{2-x} \ge 0$

Используем метод интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

$3x-4 = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$. Точка включается в решение.

$2-x = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка исключается.

Наносим точки на числовую ось и определяем знаки в интервалах:

- Для интервала $(-\infty, \frac{4}{3})$, возьмём $x=0$: $\frac{3(0)-4}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2 < 0$. Интервал не подходит.

- Для интервала $(\frac{4}{3}, 2)$, возьмём $x=1.5$: $\frac{3(1.5)-4}{2-1.5} = \frac{4.5-4}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$. Интервал подходит.

- Для интервала $(2, \infty)$, возьмём $x=3$: $\frac{3(3)-4}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5 < 0$. Интервал не подходит.

Область определения представляет собой полуинтервал.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, 2)$.