Номер 3.15, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.15. Постройте на одной координатной плоскости графики функций и укажите число точек пересечения этих графиков:

1) $y = x^2 + 3x - 2$ и $y = \sqrt{x+2}$

2) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = \sqrt{x-3}$

3) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = |x-2|$

4) $y = |x+4|$ и $y = \frac{-2x+3}{x-3}$

1) $y = x^2 + 3x - 2$ и $y = \sqrt{x+2}$

Для решения задачи построим графики обеих функций в одной системе координат и определим количество точек их пересечения.

Первая функция $y = x^2 + 3x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$

$y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 2 = 2.25 - 4.5 - 2 = -4.25$

Вершина параболы находится в точке $(-1.5, -4.25)$.

Вторая функция $y = \sqrt{x+2}$ — это график квадратного корня (верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox). Область определения этой функции: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и монотонно возрастает.

Теперь проанализируем взаимное расположение графиков. Нам нужно рассматривать только область $x \ge -2$.

В начальной точке области определения ($x=-2$):

парабола: $y(-2) = (-2)^2 + 3(-2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$.

функция корня: $y(-2) = \sqrt{-2+2} = 0$.

В точке $x=-2$ парабола находится ниже графика корня.

При увеличении $x$ парабола сначала убывает до своей вершины при $x=-1.5$, а затем возрастает. Функция корня возрастает на всей своей области определения. Квадратичная функция растет быстрее, чем функция квадратного корня. Проверим значение функций в какой-нибудь другой точке, например, $x=1$:

парабола: $y(1) = 1^2 + 3(1) - 2 = 2$.

функция корня: $y(1) = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \approx 1.73$.

В точке $x=1$ парабола уже находится выше графика корня.

Так как в точке $x=-2$ парабола была ниже, а в точке $x=1$ оказалась выше, и обе функции непрерывны, это означает, что графики пересеклись где-то на интервале $(-2, 1)$. Поскольку парабола растет быстрее, после пересечения она всегда будет находиться выше графика корня. Следовательно, точка пересечения будет только одна.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = \sqrt{x-3}$

Построим и проанализируем графики данных функций.

Первая функция $y = x^2 - 4x + 2$ — это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$

Вершина находится в точке $(2, -2)$.

Вторая функция $y = \sqrt{x-3}$ — график квадратного корня. Область определения: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. График начинается в точке $(3, 0)$ и монотонно возрастает.

Рассмотрим поведение функций на общей области определения, то есть при $x \ge 3$.

В точке $x=3$:

парабола: $y(3) = 3^2 - 4(3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$.

функция корня: $y(3) = \sqrt{3-3} = 0$.

В точке $x=3$ парабола находится ниже графика корня.

Проверим значение функций в точке $x=4$:

парабола: $y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.

функция корня: $y(4) = \sqrt{4-3} = 1$.

В точке $x=4$ парабола уже выше графика корня.

На промежутке $[3, \infty)$ обе функции возрастают (вершина параболы в $x=2$). Так как в $x=3$ парабола ниже, а в $x=4$ — выше, и обе функции непрерывны, они пересекаются на интервале $(3, 4)$. Поскольку парабола растет быстрее, чем корень, другой точки пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 точка пересечения.

3) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = |x-2|$

Проанализируем данные функции.

Первая функция $y = x^2 + 2x - 3$ — парабола с ветвями вверх. Вершина находится в точке $x_0 = -1$, $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Вторая функция $y = |x-2|$ — график модуля, "галочка" с вершиной в точке $(2, 0)$. Эту функцию можно представить в виде системы:

$y = x-2$, если $x \ge 2$

$y = -(x-2) = 2-x$, если $x < 2$

Для нахождения точек пересечения решим уравнения для каждого из двух случаев.

Случай 1: $x \ge 2$.

$x^2 + 2x - 3 = x - 2$

$x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4(1)(-1) = 5$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

В этой области пересечений нет.

Случай 2: $x < 2$.

$x^2 + 2x - 3 = 2 - x$

$x^2 + 3x - 5 = 0$

$D = 3^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{29}}{2} \approx \frac{-3+5.385}{2} \approx 1.193$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 2$.

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{29}}{2} \approx \frac{-3-5.385}{2} \approx -4.193$. Этот корень также удовлетворяет условию $x < 2$.

В этой области есть две точки пересечения.

Следовательно, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2 точки пересечения.

4) $y = |x+4|$ и $y = \frac{-2x+3}{x-3}$

Проанализируем данные функции.

Первая функция $y = |x+4|$ — график модуля с вершиной в точке $(-4, 0)$. Раскроем модуль:

$y = x+4$, если $x \ge -4$

$y = -(x+4) = -x-4$, если $x < -4$

Вторая функция $y = \frac{-2x+3}{x-3}$ — дробно-линейная функция, график которой — гипербола. Выделим целую часть:

$y = \frac{-2(x-3) - 6 + 3}{x-3} = \frac{-2(x-3) - 3}{x-3} = -2 - \frac{3}{x-3}$.

Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем точки пересечения, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge -4$.

$x+4 = \frac{-2x+3}{x-3}$

При $x \ne 3$: $(x+4)(x-3) = -2x+3$

$x^2 + x - 12 = -2x + 3$

$x^2 + 3x - 15 = 0$

$D = 3^2 - 4(1)(-15) = 9 + 60 = 69$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{2}$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{69}}{2} \approx \frac{-3+8.3}{2} \approx 2.65$. Условие $x \ge -4$ выполняется. Это точка пересечения.

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{69}}{2} \approx \frac{-3-8.3}{2} \approx -5.65$. Условие $x \ge -4$ не выполняется.

В этой области одна точка пересечения.

Случай 2: $x < -4$.

$-x-4 = \frac{-2x+3}{x-3}$

$-(x+4)(x-3) = -2x+3$

$-(x^2+x-12) = -2x+3$

$-x^2-x+12 = -2x+3$

$-x^2+x+9 = 0$

$x^2-x-9 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-9) = 1 + 36 = 37$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}$.

$x_1 = \frac{1+\sqrt{37}}{2} \approx \frac{1+6.08}{2} \approx 3.54$. Условие $x < -4$ не выполняется.

$x_2 = \frac{1-\sqrt{37}}{2} \approx \frac{1-6.08}{2} \approx -2.54$. Условие $x < -4$ не выполняется.

В этой области пересечений нет.

Также можно заметить, что при $x < -4$ функция $y=-x-4$ всегда положительна, а функция $y = \frac{-2x+3}{x-3}$ всегда отрицательна (ее x-пересечение в $x=1.5$), поэтому их графики не могут пересечься в этой области.

Итого, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1 точка пересечения.