Вопросы, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ график функции $y = af(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$:

а) его растяжением вдоль оси $Oy$;

б) его сжатием вдоль оси $Oy$;

в) с помощью симметрии относительно оси $Ox$? Приведите примеры.

2. Как, используя график функции $y = f(x)$, построить график функции:

а) $y = -2 f(x)$;

б) $y = -0,5 f(x)$?

3. Как связаны координаты точек графиков функций $y = f(x)$ и $y = af(x)$, если:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = -1$? Приведите примеры.

1. а) Растяжение графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ (вертикальное растяжение) происходит, когда коэффициент $a$ таков, что его модуль больше 1, то есть $|a|>1$. Это условие выполняется для $a > 1$ (растяжение от оси $Ox$) и для $a < -1$ (растяжение от оси $Ox$ с последующей симметрией относительно той же оси).

Пример: для $f(x) = \cos(x)$, график $y=3\cos(x)$ (где $a=3$) является растяжением графика $y=\cos(x)$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

Ответ: $|a| > 1$, что эквивалентно $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

б) Сжатие графика функции $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ (вертикальное сжатие) происходит, когда коэффициент $a$ таков, что его модуль находится в интервале от 0 до 1, то есть $0 < |a| < 1$. Это условие выполняется для $0 < a < 1$ (сжатие к оси $Ox$) и для $-1 < a < 0$ (сжатие к оси $Ox$ с последующей симметрией относительно той же оси).

Пример: для $f(x) = x^2$, график $y=0.5x^2$ (где $a=0.5$) является сжатием графика $y=x^2$ к оси $Ox$ с коэффициентом 0.5.

Ответ: $0 < |a| < 1$, что эквивалентно $a \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

в) График функции $y=af(x)$ получается из графика $y=f(x)$ с помощью симметрии относительно оси $Ox$, если коэффициент $a$ отрицателен, то есть $a < 0$. При $a=-1$ происходит только симметричное отражение. При других отрицательных значениях $a$ симметрия совмещается с растяжением (если $|a|>1$) или сжатием (если $|a|<1$).

Пример: для $f(x) = \sqrt{x}$, график $y=-\sqrt{x}$ (где $a=-1$) получается симметричным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$.

Ответ: $a < 0$.

2. а) Чтобы построить график функции $y = -2f(x)$, используя график $y=f(x)$, необходимо ординату каждой точки исходного графика умножить на -2. Геометрически это соответствует двум преобразованиям: растяжению графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза и последующему симметричному отражению относительно оси $Ox$. Порядок этих преобразований не имеет значения.

Ответ: Растянуть график $y=f(x)$ от оси $Ox$ в 2 раза, а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$.

б) Чтобы построить график функции $y = -0.5f(x)$, используя график $y=f(x)$, необходимо ординату каждой точки исходного графика умножить на -0.5. Геометрически это соответствует двум преобразованиям: сжатию графика к оси $Ox$ с коэффициентом 0.5 (то есть в 2 раза) и последующему симметричному отражению относительно оси $Ox$.

Ответ: Сжать график $y=f(x)$ к оси $Ox$ в 2 раза, а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$.

3. Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, то это означает, что $y_0 = f(x_0)$. Для графика функции $y=af(x)$ при том же значении абсциссы $x_0$ ордината будет равна $a \cdot f(x_0) = a \cdot y_0$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, ay_0)$.

а) Если $a > 1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, ay_0)$. Так как $a>1$, ордината каждой точки умножается на число, большее 1, что соответствует растяжению графика от оси $Ox$ в $a$ раз.

Пример: пусть $f(x)=x^3$ и $a=2$. Точка $(2, 8)$ на графике $y=x^3$ переходит в точку $(2, 2 \cdot 8) = (2, 16)$ на графике $y=2x^3$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, ay)$. Это растяжение графика от оси $Ox$ в $a$ раз.

б) Если $0 < a < 1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, ay_0)$. Так как $0 < a < 1$, ордината каждой точки умножается на число от 0 до 1, что соответствует сжатию графика к оси $Ox$ с коэффициентом $a$.

Пример: пусть $f(x)=\sin(x)$ и $a=0.5$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ на графике $y=\sin(x)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0.5 \cdot 1) = (\frac{\pi}{2}, 0.5)$ на графике $y=0.5\sin(x)$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, ay)$. Это сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $a$.

в) Если $a = -1$, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Ордината точки меняет свой знак, а абсцисса остается прежней.

Пример: пусть $f(x)=e^x$ и $a=-1$. Точка $(1, e)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(1, -e)$ на графике $y=-e^x$.

Ответ: Координаты связаны преобразованием $(x, y) \rightarrow (x, -y)$. Это симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.