Номер 4.7, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.7. На одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{2}{x^2}$;

2) $y = \frac{1}{(x - 1)^2}$ и $y = \frac{1}{(x + 3)^2}$.

1) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{2}{x^2}$ на одной координатной плоскости, проанализируем каждую из них.

Функция $y = \frac{1}{x^2}$

Это базовая функция, график которой нам нужно построить.

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: так как $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^2}$ всегда будет больше нуля. $E(y) = (0; +\infty)$. График целиком лежит в верхней полуплоскости.

3. Свойства: функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

4. Асимптоты: Ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$. Ось OX (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Составим таблицу ключевых точек для графика $y = \frac{1}{x^2}$:

 x | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2---|------|------|------|-----|-----|------ y | 0.25 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0.25

Функция $y = \frac{2}{x^2}$

График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ путем его растяжения от оси OX вдоль оси OY в 2 раза. Это значит, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ будет в два раза больше, чем у функции $y = \frac{1}{x^2}$.

Асимптоты и симметрия у этого графика такие же, как и у $y = \frac{1}{x^2}$.

Составим таблицу ключевых точек для графика $y = \frac{2}{x^2}$:

 x | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2---|------|------|------|-----|-----|------ y | 0.5 | 2 | 8 | 8 | 2 | 0.5

При построении на одной плоскости обе кривые будут симметричны относительно оси OY и будут приближаться к осям координат. График $y = \frac{2}{x^2}$ будет расположен "выше" графика $y = \frac{1}{x^2}$ при всех $x \neq 0$.

Ответ: Сначала строится график функции $y = \frac{1}{x^2}$ по точкам (например, $(\pm1, 1)$, $(\pm2, 0.25)$), учитывая симметрию относительно оси OY и асимптоты $x=0$ и $y=0$. Затем, для построения графика $y = \frac{2}{x^2}$, ордината каждой точки первого графика умножается на 2 (вертикальное растяжение в 2 раза). Например, точки $(\pm1, 1)$ переходят в $(\pm1, 2)$. В результате график $y = \frac{2}{x^2}$ будет выглядеть "уже" и "прижатым" к оси OY сильнее, чем график $y = \frac{1}{x^2}$.

2) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{(x-1)^2}$ и $y = \frac{1}{(x+3)^2}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$.

График функции $y = \frac{1}{(x-1)^2}$

Этот график получается из графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на 1 единицу вправо.

Основные изменения:

- Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=1$.

- Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

- Ось симметрии графика теперь — прямая $x=1$.

- Ключевые точки базового графика $(\pm1, 1)$ смещаются в точки $(1+1, 1)=(2, 1)$ и $(-1+1, 1)=(0, 1)$.

График функции $y = \frac{1}{(x+3)^2}$

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{(x - (-3))^2}$. Этот график получается из графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на 3 единицы влево.

Основные изменения:

- Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-3$.

- Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.

- Ось симметрии графика теперь — прямая $x=-3$.

- Ключевые точки базового графика $(\pm1, 1)$ смещаются в точки $(1-3, 1)=(-2, 1)$ и $(-1-3, 1)=(-4, 1)$.

На одной координатной плоскости будут изображены два графика, одинаковых по форме с $y = \frac{1}{x^2}$, но смещенных по горизонтали. Один будет симметричен относительно прямой $x=1$, а другой — относительно прямой $x=-3$.

Ответ: Для построения данных графиков необходимо сначала построить график базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$. Затем, чтобы получить график $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, нужно сдвинуть базовый график на 1 единицу вправо (его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x=1$). Чтобы получить график $y = \frac{1}{(x+3)^2}$, нужно сдвинуть базовый график на 3 единицы влево (его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x=-3$).