Номер 4.13, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.13.1) $y = |\sqrt{x+3}-2|$;

2) $y = |1-\sqrt{x-2}|$;

3) $y = |2-\sqrt{1-x}|$.

1) $y=|\sqrt{x+3}-2|$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графиков, взяв за основу функцию $y=\sqrt{x}$.

1. Сначала определим область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, что дает нам $x \ge -3$. Таким образом, область определения $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{x+3}-2$ без модуля. Ее график можно получить из графика $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

- Сдвигаем график $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\sqrt{x+3}$. Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в $(-3,0)$.

- Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем график $y_1 = \sqrt{x+3}-2$. Начальная точка смещается в $(-3,-2)$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями координат:

- С осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{x+3}-2=0 \implies \sqrt{x+3}=2 \implies x+3=4 \implies x=1$. Точка пересечения — $(1,0)$.

- С осью Oy ($x=0$): $y_1(0) = \sqrt{0+3}-2 = \sqrt{3}-2$. Точка пересечения — $(0, \sqrt{3}-2)$.

4. Теперь построим график исходной функции $y=|\sqrt{x+3}-2|$. Это означает, что $y=|y_1|$. Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (т.е. где $y_1 < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox. Часть графика, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений.

- Участок графика $y_1$ на промежутке $[-3, 1]$ находится ниже оси Ox. Мы отражаем его. Начальная точка $(-3, -2)$ переходит в точку $(-3, 2)$. Точка $(0, \sqrt{3}-2)$ переходит в $(0, 2-\sqrt{3})$.

- Участок графика на промежутке $[1, +\infty)$ остается на месте, так как там $y_1 \ge 0$.

- Точка $(1,0)$ является точкой "излома" графика и его точкой минимума.

Ответ: График функции $y=|\sqrt{x+3}-2|$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево, 2 единицы вниз и последующего отражения отрицательной части графика относительно оси Ox. График начинается в точке $(-3, 2)$, имеет точку минимума (излом) в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность. Область значений функции $E(y)=[0; +\infty)$.

2) $y=|1-\sqrt{x-2}|$

Заметим, что $|1-a| = |-(a-1)| = |a-1|$, поэтому функцию можно переписать в виде $y=|\sqrt{x-2}-1|$ для удобства анализа.

1. Область определения функции: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{x-2}-1$. Ее график получается из графика $y=\sqrt{x}$ следующими преобразованиями:

- Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y=\sqrt{x-2}$. Начало в точке $(2,0)$.

- Сдвиг на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить $y_1=\sqrt{x-2}-1$. Начало в точке $(2,-1)$.

3. Найдем точку пересечения графика $y_1$ с осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{x-2}-1=0 \implies \sqrt{x-2}=1 \implies x-2=1 \implies x=3$. Точка пересечения — $(3,0)$. Пересечения с осью Oy нет, так как $x \ge 2$.

4. Применяем операцию взятия модуля: $y=|y_1|=|\sqrt{x-2}-1|$. Часть графика $y_1$, расположенную ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси.

- Участок графика на промежутке $[2, 3]$ находится ниже оси Ox. Отражаем его. Начальная точка $(2,-1)$ переходит в точку $(2,1)$.

- Участок на промежутке $[3, +\infty)$ остается без изменений.

- Точка $(3,0)$ является точкой излома и минимума.

Ответ: График функции $y=|1-\sqrt{x-2}|$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо, 1 единицу вниз и отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График начинается в точке $(2, 1)$, имеет точку минимума (излом) в точке $(3, 0)$. Область значений $E(y)=[0; +\infty)$.

3) $y=|2-\sqrt{1-x}|$

Перепишем функцию в виде $y=|\sqrt{1-x}-2|$.

1. Область определения функции: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \sqrt{1-x}-2$. Ее график получается из графика $y=\sqrt{x}$ преобразованиями:

- Сначала отразим $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy, чтобы получить $y=\sqrt{-x}$.

- Затем сдвинем $y=\sqrt{-x}$ на 1 единицу вправо, чтобы получить $y=\sqrt{-(x-1)} = \sqrt{1-x}$. Конечная точка графика (аналог начальной) находится в $(1,0)$.

- Сдвинем полученный график на 2 единицы вниз, чтобы получить $y_1=\sqrt{1-x}-2$. Конечная точка графика теперь в $(1,-2)$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями:

- С осью Ox ($y_1=0$): $\sqrt{1-x}-2=0 \implies \sqrt{1-x}=2 \implies 1-x=4 \implies x=-3$. Точка пересечения — $(-3,0)$.

- С осью Oy ($x=0$): $y_1(0) = \sqrt{1-0}-2 = 1-2 = -1$. Точка пересечения — $(0,-1)$.

4. Применяем модуль: $y=|y_1|=|\sqrt{1-x}-2|$. Отражаем часть графика $y_1$, лежащую под осью Ox, наверх.

- Участок графика на промежутке $(-3, 1]$ находится ниже оси Ox. Отражаем его. Конечная точка $(1,-2)$ переходит в $(1,2)$. Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, 1)$.

- Участок на промежутке $(-\infty, -3]$ остается без изменений.

- Точка $(-3,0)$ является точкой излома и минимума.

Ответ: График функции $y=|2-\sqrt{1-x}|$ получается из графика $y=\sqrt{-x}$ сдвигом на 1 единицу вправо, 2 единицы вниз и отражением отрицательной части графика относительно оси Ox. График имеет конечную точку в $(1, 2)$, точку минимума (излом) в точке $(-3, 0)$. Область значений $E(y)=[0; +\infty)$.