Номер 4.10, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.10. Найдите графическим способом число корней уравнения:

1) $x^2 + 3x = \frac{1}{x};$

2) $x^2 - 4x = \frac{1}{x^2};$

3) $\sqrt{x+3} = \frac{1}{x+1};$

4) $\sqrt{2-x} = \frac{2}{x+2}.$

1) Чтобы найти число корней уравнения $x^2 + 3x = \frac{1}{x}$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 + 3x$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно числу корней уравнения.

Функция $y = x^2 + 3x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(-1.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $x^2 + 3x = 0$, то есть $x(x+3)=0$, откуда $x=0$ и $x=-3$.

Функция $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Ее ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Анализируя взаимное расположение графиков, видим:

- При $x > 0$ одна ветвь гиперболы убывает от $+\infty$ до 0, а парабола возрастает от 0 до $+\infty$ (начиная с точки (0,0)). Графики пересекаются в одной точке.

- При $x < 0$ ветвь гиперболы находится в третьей четверти. Парабола также проходит через третью четверть. Учитывая положение вершины параболы $(-1.5, -2.25)$ и поведение гиперболы, графики пересекаются в двух точках: одна на интервале $(-3, -1.5)$, другая на интервале $(-1.5, 0)$.

Всего получается три точки пересечения.

Ответ: 3

2) Рассмотрим уравнение $x^2 - 4x = \frac{1}{x^2}$. Построим графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Функция $y = x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=4$.

Функция $y = \frac{1}{x^2}$ определена для всех $x \neq 0$ и принимает только положительные значения ($y > 0$). График симметричен относительно оси Oy, асимптоты — оси координат.

Сравним графики:

- На интервале $(0, 4)$ парабола $y = x^2 - 4x$ принимает отрицательные значения, а функция $y = \frac{1}{x^2}$ — положительные. Пересечений нет.

- При $x > 4$ обе функции положительны. Парабола возрастает, а график $y = \frac{1}{x^2}$ убывает, стремясь к нулю. Есть одна точка пересечения.

- При $x < 0$ обе функции также положительны. Парабола убывает от $+\infty$ до $0$ (при $x \to 0^-$), а график $y = \frac{1}{x^2}$ возрастает от $0$ до $+\infty$ (при $x \to 0^-$). Есть одна точка пересечения.

Итого, две точки пересечения.

Ответ: 2

3) Для уравнения $\sqrt{x+3} = \frac{1}{x+1}$ построим графики функций $y = \sqrt{x+3}$ и $y = \frac{1}{x+1}$.

Функция $y = \sqrt{x+3}$ определена при $x+3 \ge 0$, то есть при $x \ge -3$. Ее график — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-3, 0)$ и монотонно возрастающая.

Функция $y = \frac{1}{x+1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота $x = -1$.

Рассмотрим пересечения на области определения $x \ge -3$:

- На интервале $[-3, -1)$ функция $y = \sqrt{x+3}$ неотрицательна, а функция $y = \frac{1}{x+1}$ отрицательна. Пересечений нет.

- На интервале $(-1, +\infty)$ обе функции положительны. График $y = \sqrt{x+3}$ возрастает (от $\sqrt{2}$ при $x \to -1^+$), а график $y = \frac{1}{x+1}$ убывает (от $+\infty$ до 0). Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. При $x=0$, $y=\sqrt{3} \approx 1.73$, а $y=1$. При $x=-0.5$, $y=\sqrt{2.5} \approx 1.58$, а $y=2$. Это подтверждает наличие одной точки пересечения.

Таким образом, есть только одна точка пересечения.

Ответ: 1

4) Для уравнения $\sqrt{2-x} = \frac{2}{x+2}$ построим графики функций $y = \sqrt{2-x}$ и $y = \frac{2}{x+2}$.

Функция $y = \sqrt{2-x}$ определена при $2-x \ge 0$, то есть при $x \le 2$. Ее график — ветвь параболы, выходящая из точки $(2, 0)$ и идущая влево и вверх.

Функция $y = \frac{2}{x+2}$ — это гипербола со сдвигом на 2 единицы влево и растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота $x = -2$.

Ищем пересечения при $x \le 2$:

- На интервале $(-\infty, -2)$ функция $y = \sqrt{2-x}$ положительна, а функция $y = \frac{2}{x+2}$ отрицательна. Пересечений нет.

- На интервале $(-2, 2]$ обе функции положительны и убывают. При $x \to -2$ справа, $y = \sqrt{2-x} \to \sqrt{4} = 2$, а $y = \frac{2}{x+2} \to +\infty$. В точке $x=2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$, а $y = \frac{2}{2+2} = 0.5$. В точке $x=0$, $y=\sqrt{2} \approx 1.414$, а $y=2/2=1$. Поскольку на интервале $(-2, 0)$ одна функция "догоняет" другую (в $x \to -2^+$ $y_{гип} > y_{кор}$, а в $x=0$ $y_{кор} > y_{гип}$), они пересекаются один раз. На интервале $(0, 2]$ неравенство снова меняется (в $x=0$ $y_{кор} > y_{гип}$, а в $x=2$ $y_{гип} > y_{кор}$), значит, есть еще одна точка пересечения.

Всего получается две точки пересечения.

Ответ: 2