Номер 4.9, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.9. На одной координатной плоскости постройте графики функций и укажите число общих точек этих графиков:

1) $y = \frac{3x+2}{x-1}$ и $y = \frac{1}{x^2}$;

2) $y = \frac{2x-3}{x+2}$ и $y = \sqrt{x+3}$.

1) $y = \frac{3x+2}{x-1}$ и $y = \frac{1}{x^2}$

Для построения графиков исследуем каждую функцию.

Первая функция: $y = \frac{3x+2}{x-1}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения выделим целую часть:

$y = \frac{3(x-1) + 3 + 2}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 3 + \frac{5}{x-1}$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

• С осью Oy (x=0): $y = \frac{3(0)+2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
• С осью Ox (y=0): $0 = \frac{3x+2}{x-1} \implies 3x+2=0 \implies x = -2/3$. Точка $(-2/3, 0)$.

Вторая функция: $y = \frac{1}{x^2}$

Это четная функция, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Область определения: $x \neq 0$. Область значений: $y > 0$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Построение графиков и поиск общих точек

Нанесем оба графика на одну координатную плоскость. Чтобы найти число общих точек, проанализируем взаимное расположение графиков.

• При $x > 1$: график гиперболы $y = 3 + \frac{5}{x-1}$ находится выше своей горизонтальной асимптоты $y=3$. График функции $y=\frac{1}{x^2}$ находится между осью Ox и прямой $y=1$ (так как $x^2>1$). Общих точек нет.
• При $0 < x < 1$: график гиперболы находится в нижней полуплоскости (значения y отрицательны), а график функции $y=\frac{1}{x^2}$ — в верхней (y всегда положителен). Общих точек нет.
• При $x < 0$: график гиперболы $y=3+\frac{5}{x-1}$ приближается к асимптоте $y=3$ снизу при $x \to -\infty$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 0^-$. График функции $y=\frac{1}{x^2}$ приближается к асимптоте $y=0$ сверху при $x \to -\infty$ и уходит на $+\infty$ при $x \to 0^-$. Так как при $x \to -\infty$ гипербола (значения y близки к 3) находится выше графика второй функции (значения y близки к 0), а при $x \to 0^-$ гипербола (y $\to -\infty$) находится ниже графика второй функции (y $\to +\infty$), то в силу непрерывности обеих функций на интервале $(-\infty, 0)$ их графики должны пересечься. Это пересечение единственное.

Ответ: 1 общая точка.

2) $y = \frac{2x-3}{x+2}$ и $y = \sqrt{x+3}$

Для построения графиков исследуем каждую функцию.

Первая функция: $y = \frac{2x-3}{x+2}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Выделим целую часть:

$y = \frac{2(x+2) - 4 - 3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} - \frac{7}{x+2} = 2 - \frac{7}{x+2}$.

График получается из графика $y = -\frac{7}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

• С осью Oy (x=0): $y = \frac{2(0)-3}{0+2} = -1.5$. Точка $(0, -1.5)$.
• С осью Ox (y=0): $0 = \frac{2x-3}{x+2} \implies 2x-3=0 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

Вторая функция: $y = \sqrt{x+3}$

График этой функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox.

• Область определения: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
• Область значений: $y \ge 0$.
• Начальная точка графика: $(-3, 0)$.
• Контрольные точки: $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(6, 3)$.

Построение графиков и поиск общих точек

Общие точки могут существовать только в области определения обеих функций, то есть при $x \ge -3$ и $x \neq -2$. Рассмотрим два интервала.

• Интервал $[-3, -2)$:

  Для функции $y = \sqrt{x+3}$ значения лежат в диапазоне $[0, 1)$ (так как $y(-3)=0$ и $y(-2)=1$).

  Для гиперболы $y = 2 - \frac{7}{x+2}$ на этом интервале $x+2$ изменяется от -1 до 0. Тогда $\frac{7}{x+2}$ изменяется от -7 до $-\infty$, а $y = 2 - \frac{7}{x+2}$ изменяется от $2-(-7)=9$ до $+\infty$. Таким образом, значения гиперболы лежат в диапазоне $[9, +\infty)$.

  Поскольку минимальное значение гиперболы (9) больше максимального значения функции корня (1) на этом интервале, общих точек здесь нет.

• Интервал $(-2, +\infty)$:

  Для гиперболы $y = 2 - \frac{7}{x+2}$, при $x > -2$ знаменатель $x+2$ положителен, значит $\frac{7}{x+2} > 0$. Следовательно, $y < 2$. График гиперболы на этом интервале всегда находится ниже горизонтальной асимптоты $y=2$.

  Для функции $y = \sqrt{x+3}$ найдем, при каких $x$ ее значения больше 2: $\sqrt{x+3} > 2 \implies x+3 > 4 \implies x > 1$. Значение равно 2 при $x=1$.

  Таким образом, при $x>1$ график $y=\sqrt{x+3}$ лежит выше прямой $y=2$, а график гиперболы — ниже. Значит, при $x>1$ пересечений нет.

  Рассмотрим оставшийся участок $(-2, 1]$. На этом участке функция $y=\sqrt{x+3}$ принимает положительные значения от 1 до 2. Гипербола же пересекает ось Ox в точке $x=1.5$, поэтому на интервале $(-2, 1.5)$ ее значения отрицательны. Так как на $(-2, 1]$ одна функция положительна, а другая отрицательна (за исключением точки x=1.5, которая не входит в интервал), их графики не пересекаются.

Ответ: 0 общих точек.