Номер 4.2, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.2. На координатной плоскости постройте точки:

1) $A(-1; 3)$ и $A_1(-1; 1);$

2) $B(1; 4)$ и $B_1(1; 2);$

3) $P(-2; 4,5)$ и $P_1(-2; 3);$

4) $C(2; -2,4)$ и $C_1(2; -0,8);$

5) $K(-3; -4,4)$ и $K_1(-3; -1,1);$

6) $M(4; 9)$ и $M_1(4; 1,5).$

Укажите коэффициент сжатия вдоль оси $Oy$ при перемещении точек $A, B, P, C, K$ и $M$, соответственно, в точки $A_1, B_1, P_1, C_1, K_1$ и $M_1$.

Первая часть задачи заключается в построении заданных точек на координатной плоскости. После построения мы можем приступить ко второй части — нахождению коэффициента сжатия.

Сжатие вдоль оси Oy означает, что для любой точки с координатами $(x; y)$, ее новая координата $(x'; y')$ после сжатия будет $(x; k \cdot y)$, где $k$ — это коэффициент сжатия. При этом абсцисса (координата $x$) точки не изменяется, а ордината (координата $y$) умножается на коэффициент $k$.

Из формулы преобразования $y' = k \cdot y$ можно выразить коэффициент сжатия: $k = \frac{y'}{y}$. Мы будем использовать эту формулу для каждого случая.

1) A(-1; 3) и A₁(-1; 1)

Точка $A(-1; 3)$ перемещается в точку $A_1(-1; 1)$. Абсцисса $-1$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$, разделив новую ординату на исходную:

$k = \frac{y_{A_1}}{y_A} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) B(1; 4) и B₁(1; 2)

Точка $B(1; 4)$ перемещается в точку $B_1(1; 2)$. Абсцисса $1$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{B_1}}{y_B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) P(-2; 4,5) и P₁(-2; 3)

Точка $P(-2; 4,5)$ перемещается в точку $P_1(-2; 3)$. Абсцисса $-2$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{P_1}}{y_P} = \frac{3}{4,5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) C(2; -2,4) и C₁(2; -0,8)

Точка $C(2; -2,4)$ перемещается в точку $C_1(2; -0,8)$. Абсцисса $2$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{C_1}}{y_C} = \frac{-0,8}{-2,4} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

5) K(-3; -4,4) и K₁(-3; -1,1)

Точка $K(-3; -4,4)$ перемещается в точку $K_1(-3; -1,1)$. Абсцисса $-3$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{K_1}}{y_K} = \frac{-1,1}{-4,4} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

6) M(4; 9) и M₁(4; 1,5)

Точка $M(4; 9)$ перемещается в точку $M_1(4; 1,5)$. Абсцисса $4$ осталась неизменной.

Найдем коэффициент сжатия $k$:

$k = \frac{y_{M_1}}{y_M} = \frac{1,5}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$