Номер 3.17, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.17.Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 3|x|;$

2) $y = x^2 + 4|x|;$

3) $y = 2x^2 + 5|x + 3|;$

4) $y = 2x^2 - 4|x - 1|.$

1) $y = x^2 - 3|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 3|-x| = x^2 - 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить полный график.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:

- Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.

$y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осями координат (для $x \ge 0$):

При $x=0$, $y=0$. Точка $(0,0)$.

При $y=0$, $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы с вершиной в $(1.5, -2.25)$, проходящую через точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

Шаг 2: Построение полного графика.

Отражаем построенную в шаге 1 часть графика симметрично относительно оси OY. Вершина $(1.5, -2.25)$ отразится в точку $(-1.5, -2.25)$. Точка $(3,0)$ отразится в точку $(-3,0)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$, что соответствует отраженной части графика.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. Для $x \ge 0$ это график $y=x^2-3x$, а для $x < 0$ — график $y=x^2+3x$. График имеет локальный максимум в точке $(0,0)$ и два глобальных минимума в точках $(-1.5, -2.25)$ и $(1.5, -2.25)$.

2) $y = x^2 + 4|x|$

Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 4|-x| = x^2 + 4|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Построим график для $x \ge 0$, а затем отразим его относительно оси OY.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 + 4x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Эта точка не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$.

- При $x=0$, $y=0$. График начинается в точке $(0,0)$.

- Поскольку вершина находится левее оси OY, на промежутке $x \ge 0$ функция монотонно возрастает.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим правую ветвь параболы $y = x^2 + 4x$, начинающуюся из начала координат.

Шаг 2: Построение полного графика.

Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Это даст нам левую часть графика, которая соответствует функции $y = x^2 + 4(-x) = x^2 - 4x$ при $x < 0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол, встречающихся в начале координат. Для $x \ge 0$ это часть графика $y=x^2+4x$, а для $x < 0$ — часть графика $y=x^2-4x$. График симметричен относительно оси OY и имеет абсолютный минимум в точке $(0,0)$.

3) $y = |2x^2 + 5|x| + 3|$

Для построения этого графика сначала рассмотрим функцию, стоящую под знаком модуля: $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Шаг 1: Анализ функции $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Эта функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY. Рассмотрим ее при $x \ge 0$:

$g(x) = 2x^2 + 5x + 3$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы: $x_v = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1.25$. Вершина не принадлежит промежутку $x \ge 0$.

Найдем значение функции в точке $x=0$: $g(0) = 2(0)^2 + 5(0) + 3 = 3$.

Поскольку на промежутке $x \ge 0$ функция возрастает (так как $x=0$ находится правее вершины), ее наименьшее значение на этом промежутке равно $g(0) = 3$.

В силу четности функции $g(x)$, ее наименьшее значение на всей числовой прямой также равно 3.

Следовательно, $g(x) = 2x^2 + 5|x| + 3 \ge 3$ для всех $x$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)|$.

Поскольку функция $g(x)$ всегда положительна, то $|g(x)| = g(x)$.

Это означает, что график функции $y = |2x^2 + 5|x| + 3|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 2x^2 + 5|x| + 3$.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y = 2x^2 + 5|x| + 3$. Он состоит из двух ветвей парабол: для $x \ge 0$ это $y=2x^2+5x+3$, а для $x < 0$ — $y=2x^2-5x+3$. График симметричен относительно оси OY и имеет абсолютный минимум в точке $(0,3)$.

4) $y = |2x^2 - 4|x| - 1|$

Построение графика проведем в два этапа: сначала построим график подмодульной функции $g(x) = 2x^2 - 4|x| - 1$, а затем применим операцию взятия модуля.

Шаг 1: Построение графика $g(x) = 2x^2 - 4|x| - 1$.

Функция $g(x)$ является четной, ее график симметричен относительно оси OY. Построим его для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $g(x) = 2x^2 - 4x - 1$.

Это парабола с ветвями вверх.

- Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. $y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 1 = -3$. Вершина в точке $(1, -3)$.

- Пересечение с осью OY: при $x=0$, $g(0)=-1$. Точка $(0,-1)$.

- Пересечение с осью OX: $2x^2 - 4x - 1 = 0$. $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4(2)(-1)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Для $x \ge 0$ корень $x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 2.22$.

График $g(x)$ для $x \ge 0$ — это часть параболы, начинающаяся в $(0,-1)$, опускающаяся до минимума в $(1,-3)$ и затем поднимающаяся вверх.

Отразив эту часть относительно оси OY, получим полный график $g(x)$. Он будет иметь "W"-образную форму с локальным максимумом в $(0,-1)$ и двумя минимумами в $(1,-3)$ и $(-1,-3)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)|$.

Чтобы получить график $y = |g(x)|$, нужно ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси OX, симметрично отразить относительно оси OX, а остальную часть оставить без изменений.

- Часть графика $g(x)$ между точками пересечения с осью OX (между $-(1+\frac{\sqrt{6}}{2})$ и $1+\frac{\sqrt{6}}{2}$) находится ниже оси.

- Точка локального максимума $g(x)$ в $(0,-1)$ превратится в точку локального минимума $y$ в $(0,1)$.

- Точки минимума $g(x)$ в $(1,-3)$ и $(-1,-3)$ превратятся в точки локальных максимумов $y$ в $(1,3)$ и $(-1,3)$.

- Точки, где $g(x)=0$, останутся на месте и будут точками касания графика $y$ с осью OX.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет локальный минимум в точке $(0,1)$, два локальных максимума в точках $(-1,3)$ и $(1,3)$, и два глобальных минимума в точках $x = \pm(1 + \frac{\sqrt{6}}{2})$, где $y=0$.