Номер 3.10, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.10. Какая линия является графиком функции:

1) $y = x^2 - 3.5x$;

2) $y = -x^2 + 5x$;

3) $y = \frac{1}{x+5}$;

4) $y = \frac{1}{4-x}$?

Постройте графики этих функций, используя перемещения (сдвиги, параллельные переносы) соответствующих графиков влево или вправо.

1) Графиком функции $y = x^2 - 3,5x$ является парабола, так как это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы построить график с помощью перемещений, преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

$y = x^2 - 3,5x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,75 + 1,75^2) - 1,75^2 = (x - 1,75)^2 - 3,0625$

Это уравнение показывает, что график функции $y = x^2 - 3,5x$ можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1,75 единицы вправо вдоль оси Ox и на 3,0625 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы будет находиться в точке $(1,75; -3,0625)$.

Ответ: Графиком является парабола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=x^2$ на 1,75 единицы вправо и на 3,0625 единицы вниз.

2) Графиком функции $y = -x^2 + 5x$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Выделим полный квадрат для определения сдвига:

$y = -x^2 + 5x = -(x^2 - 5x) = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2,5 + 2,5^2 - 2,5^2) = -((x - 2,5)^2 - 6,25) = -(x - 2,5)^2 + 6,25$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = -x^2$ (которая является отражением $y=x^2$ относительно оси Ox) путем сдвига на 2,5 единицы вправо вдоль оси Ox и на 6,25 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы будет в точке $(2,5; 6,25)$.

Ответ: Графиком является парабола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=-x^2$ на 2,5 единицы вправо и на 6,25 единицы вверх.

3) Графиком функции $y = \frac{1}{x+5}$ является гипербола, так как это дробно-рациональная функция.

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x - (-5)}$.

Это означает, что график данной функции можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига на 5 единиц влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается в точку $x=-5$, а горизонтальная асимптота остается прежней ($y=0$).

Ответ: Графиком является гипербола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 5 единиц влево.

4) Графиком функции $y = \frac{1}{4-x}$ является гипербола.

Преобразуем выражение: $y = \frac{1}{4-x} = \frac{1}{-(x-4)} = -\frac{1}{x-4}$.

Построение графика можно выполнить в два этапа, начиная с базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвинуть график $y = \frac{1}{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{1}{x-4}$.

2. Отразить полученный график симметрично относительно оси Ox, чтобы получить итоговый график $y = -\frac{1}{x-4}$.

Вертикальная асимптота смещается в точку $x=4$, горизонтальная асимптота остается $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола. Построение осуществляется сдвигом графика $y=\frac{1}{x}$ на 4 единицы вправо с последующим симметричным отражением относительно оси Ox.