Номер 3.6, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.6. Используя график функции $y = x^2$, постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2 - 2$; 2) $y = x^2 + 2$; 3) $y = (x - 3)^2$; 4) $y = (x + 3)^2$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Все заданные функции являются преобразованиями (сдвигами) этой базовой параболы.

Общие правила преобразования графиков, которые мы будем использовать:

1. Вертикальный сдвиг: график функции $y = f(x) + c$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

2. Горизонтальный сдвиг: график функции $y = f(x - c)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ — влево (что эквивалентно записи $y = f(x + |c|)$).

Теперь построим каждый из графиков.

1) $y = x^2 - 2$

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = -2$. Так как $c < 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$. Форма и направление ветвей параболы останутся неизменными.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 - 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = x^2 + 2$

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Так как $c > 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

3) $y = (x - 3)^2$

Данная функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = 3$. Так как $c > 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 3)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

4) $y = (x + 3)^2$

Эту функцию можно представить в виде $y = (x - (-3))^2$. Она имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = -3$. Так как $c < 0$, для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график функции $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x + 3)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Таким образом, в одной координатной плоскости будут находиться пять парабол: исходная $y = x^2$ с вершиной в $(0,0)$, и четыре параболы, полученные из нее сдвигом: две со сдвигом по вертикали (вершины в $(0, -2)$ и $(0, 2)$) и две со сдвигом по горизонтали (вершины в $(3, 0)$ и $(-3, 0)$). Все параболы будут иметь одинаковую форму и их ветви будут направлены вверх.