Задания, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что график функции $y = f(x) - n$, где $n > 0$, можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью его смещения (сдвига, параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц вниз (рис. 3.11).

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вдоль оси $Oy$ вниз на $n$ единиц, $n > 0

Рис. 3.11

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольную точку $B_0(x_0, y_0)$, которая принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть справедливо равенство: $y_0 = f(x_0)$.

Теперь выполним смещение (параллельный перенос) этой точки вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц вниз. По условию $n > 0$. В результате этого преобразования мы получим новую точку $B_1(x_1, y_1)$. При сдвиге вдоль оси ординат ($Oy$) абсцисса точки не изменяется, а ордината изменяется на величину сдвига. Таким образом, координаты новой точки будут:

$x_1 = x_0$

$y_1 = y_0 - n$

Теперь нам нужно показать, что полученная точка $B_1(x_1, y_1)$ принадлежит графику функции $y = f(x) - n$. Для этого ее координаты должны удовлетворять уравнению $y = f(x) - n$. Подставим координаты точки $B_1$ в это уравнение и проверим, выполняется ли равенство:

$y_1 = f(x_1) - n$

Используя соотношения, полученные при сдвиге ($x_1 = x_0$ и $y_1 = y_0 - n$), заменим переменные в проверяемом равенстве:

$y_0 - n = f(x_0) - n$

Мы знаем, что исходная точка $B_0(x_0, y_0)$ лежит на графике $y = f(x)$, поэтому $y_0 = f(x_0)$. Заменим $y_0$ в левой части уравнения на $f(x_0)$:

$f(x_0) - n = f(x_0) - n$

Мы получили верное тождество. Это означает, что любая точка, полученная в результате смещения точки с графика $y = f(x)$ на $n$ единиц вниз, будет принадлежать графику функции $y = f(x) - n$.

Поскольку мы выбрали произвольную точку $B_0$ на графике $y = f(x)$ и показали, что после смещения она попадает на график $y = f(x) - n$, и аналогично можно показать, что любая точка графика $y = f(x) - n$ может быть получена таким смещением из точки графика $y = f(x)$, то мы можем заключить, что весь график функции $y = f(x) - n$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $n$ единиц вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: Утверждение доказано. График функции $y = f(x) - n$, где $n > 0$, действительно можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью его смещения (параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц вниз.