Объясните, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему формула $y = (x - 2)^2$ является формулой функции, график которой изображен на рисунке 3.2 в системе координат $xOy$?

Как построить график функции $y = (x + 2)^2$, не сдвигая построенный график функции $y = x^2$?

Почему формула $y = (x - 2)²$ является формулой функции, график которой изображен на рисунке 3.2 в системе координат xOy?

График функции $y = (x - 2)²$ можно получить из графика базовой квадратичной функции $y = x²$ с помощью преобразования сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс.

Общее правило гласит, что график функции $y = f(x - a)$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на $|a|$ единиц вдоль оси Ox. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо, а если $a < 0$ – влево.

В данном случае у нас есть функция $y = (x - 2)²$. Здесь $f(x) = x²$ и $a = 2$. Так как $a > 0$, для построения графика этой функции необходимо сдвинуть параболу $y = x²$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вершина стандартной параболы $y = x²$ находится в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вправо ее новая вершина окажется в точке $(2, 0)$. Осью симметрии новой параболы будет прямая $x = 2$.

Следовательно, на рисунке 3.2 изображена именно такая парабола – стандартная парабола, вершина которой смещена в точку $(2, 0)$. Формула $y = (x - 2)²$ точно описывает такое преобразование.

Ответ: Формула $y = (x - 2)²$ описывает график на рисунке, так как этот график является стандартной параболой $y = x²$, сдвинутой на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, что соответствует данному алгебраическому преобразованию аргумента функции.

Как построить график функции $y = (x + 2)²$, не сдвигая построенный график функции $y = x²$?

Для построения графика функции $y = (x + 2)²$ без выполнения операции сдвига самого графика можно использовать метод переноса системы координат. Вместо того чтобы сдвигать параболу, мы сдвинем оси координат в противоположном направлении.

1. Введем новую систему координат $x'O'y'$. Свяжем ее с исходной системой $xOy$ следующими соотношениями:$x' = x + 2$$y' = y$

2. Подставив эти выражения в исходное уравнение функции $y = (x + 2)²$, мы получим уравнение этой же кривой, но в новой системе координат:$y' = (x')²$Это уравнение стандартной параболы в системе $x'O'y'$.

3. Определим, где находится начало новой системы координат $O'$ в старой системе. Начало координат – это точка, где $x' = 0$ и $y' = 0$.Из $x' = x + 2 = 0$ следует, что $x = -2$.Из $y' = y = 0$ следует, что $y = 0$.Таким образом, новое начало координат $O'$ находится в точке $(-2, 0)$ исходной системы $xOy$.

4. Алгоритм построения будет следующим:

• В исходной системе координат $xOy$ отмечаем новую точку начала координат $O'(-2, 0)$.
• Через эту точку проводим новые оси координат $O'x'$ и $O'y'$, параллельные старым осям. Ось $O'x'$ совпадет с осью $Ox$, а ось $O'y'$ будет являться прямой $x = -2$.
• В этой новой системе координат $x'O'y'$ строим график стандартной параболы $y' = (x')²$. Для этого откладываем значения от нового начала координат $O'$: точки $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, $(2,4)$, $(-2,4)$ и так далее в системе $x'O'y'$.

Полученная кривая и будет являться искомым графиком функции $y = (x + 2)²$ в первоначальной системе координат $xOy$. Мы построили его, не "сдвигая" сам рисунок параболы, а лишь нарисовав его в новой, смещенной системе координат.

Ответ: Нужно ввести новую систему координат $x'O'y'$, начало которой находится в точке $(-2, 0)$ исходной системы, а оси параллельны исходным. Затем в этой новой системе построить график стандартной параболы $y' = (x')²$.