Номер 2.18, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.18. Упростите выражение

$\left( \frac{x-3}{x^2-2x-8} - \frac{x-4}{x^2-x-6} \right) \cdot \left( \frac{12-x^2}{2x-7} + x \right).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left(\frac{x-3}{x^2-2x-8} - \frac{x-4}{x^2-x-6}\right) $

Сначала разложим на множители знаменатели дробей. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для знаменателя $ x^2-2x-8 $: решим уравнение $ x^2-2x-8=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корни: $ x_1=4 $, $ x_2=-2 $. Следовательно, $ x^2-2x-8 = (x-4)(x+2) $.

Для знаменателя $ x^2-x-6 $: решим уравнение $ x^2-x-6=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $ x_1=3 $, $ x_2=-2 $. Следовательно, $ x^2-x-6 = (x-3)(x+2) $.

Теперь подставим разложенные знаменатели в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $ (x-4)(x+2)(x-3) $:

$ \frac{x-3}{(x-4)(x+2)} - \frac{x-4}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-4)(x+2)(x-3)} - \frac{(x-4)(x-4)}{(x-4)(x+2)(x-3)} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{(x-3)^2 - (x-4)^2}{(x-4)(x+2)(x-3)} $

Применим в числителе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ (x-3)^2 - (x-4)^2 = ((x-3) - (x-4)) \cdot ((x-3) + (x-4)) = (x-3-x+4)(x-3+x-4) = (1)(2x-7) = 2x-7 $

Результат первого действия: $ \frac{2x-7}{(x-4)(x+2)(x-3)} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{12-x^2}{2x-7} + x\right) $

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ 2x-7 $:

$ \frac{12-x^2}{2x-7} + \frac{x(2x-7)}{2x-7} = \frac{12-x^2+2x^2-7x}{2x-7} = \frac{x^2-7x+12}{2x-7} $

Разложим на множители числитель $ x^2-7x+12 $. Решим уравнение $ x^2-7x+12=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение - 12. Корни: $ x_1=3 $, $ x_2=4 $. Следовательно, $ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) $.

Результат второго действия: $ \frac{(x-3)(x-4)}{2x-7} $.

3. Перемножим результаты первого и второго действий.

$ \frac{2x-7}{(x-4)(x+2)(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x-4)}{2x-7} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{2x-7}}{\cancel{(x-4)}(x+2)\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x-4)}}{\cancel{2x-7}} = \frac{1}{x+2} $

Ответ: $ \frac{1}{x+2} $