Номер 2.14, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.14. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.7:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.7

1)График данной функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

Для $x \le 0$ график представляет собой луч, выходящий из начала координат. Этот луч лежит на прямой, проходящей через точки $(0, 0)$ и $(-2, 2)$. Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, её сдвиг по оси y равен нулю, то есть $b=0$. Угловой коэффициент $k$ можно найти, подставив координаты точки $(-2, 2)$ в уравнение $y = kx$: $2 = k \cdot (-2)$, откуда $k = -1$. Таким образом, для $x \le 0$ функция задаётся формулой $y = -x$.

Для $x > 0$ график является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x-x_0)^2 + y_0$. Подставляя координаты вершины $(2, 4)$, получаем $y = a(x-2)^2 + 4$. Чтобы найти коэффициент $a$, используем другую точку, через которую проходит парабола, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим эти значения: $0 = a(0-2)^2 + 4 \implies 0 = 4a + 4 \implies 4a = -4 \implies a = -1$. Следовательно, для $x > 0$ уравнение параболы имеет вид $y = -(x-2)^2 + 4$. Раскрыв скобки, получим $y = -(x^2-4x+4) + 4 = -x^2+4x-4+4 = -x^2+4x$.

Объединив обе части, получаем кусочно-заданную функцию:

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 + 4x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

2)График этой функции симметричен относительно оси $y$, что указывает на то, что функция является чётной. График имеет характерную 'W'-образную форму с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(0, 4)$ и $(2, 0)$. Такая форма часто является результатом взятия модуля от 'V'-образной функции.

Рассмотрим 'V'-образную функцию $f(x)$, которая была бы преобразована в данный график с помощью операции модуля $y=|f(x)|$. Такая функция должна была бы иметь вершину в точке $(0, -4)$ и проходить через точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Уравнение 'V'-образной функции с вершиной в $(0, c)$ имеет вид $g(x) = k|x| + c$. В нашем случае $c=-4$. Таким образом, $g(x) = k|x| - 4$. Для нахождения коэффициента $k$ подставим координаты точки $(2, 0)$: $0 = k|2| - 4 \implies 2k = 4 \implies k=2$. Итак, функция под знаком модуля: $g(x) = 2|x| - 4$.

Теперь, чтобы получить исходный 'W'-образный график, возьмём модуль от этой функции: $y = |g(x)| = |2|x| - 4|$. Эта операция отражает часть графика, находящуюся ниже оси $x$, симметрично вверх, что в точности соответствует изображению.

Проверим ключевые точки:

при $x=0$, $y = |2|0| - 4| = |-4| = 4$.

при $x=2$, $y = |2|2| - 4| = |4 - 4| = 0$.

при $x=-2$, $y = |2|-2| - 4| = |4 - 4| = 0$.

Все точки совпадают.

Ответ: $y = |2|x| - 4|$

3)График данной функции является гиперболой. У неё есть вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Вертикальная асимптота — это прямая $x=1$. Это означает, что в знаменателе функции есть множитель $(x-1)$. Поскольку ветви графика по обе стороны от асимптоты уходят в $+\infty$, этот множитель должен быть в чётной степени, скорее всего, во второй: $(x-1)^2$.

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=1$. Это означает, что при $x \to \pm\infty$ функция стремится к 1. Это соответствует вертикальному сдвигу графика на 1 единицу вверх.

Таким образом, формула функции имеет вид $y = \frac{k}{(x-1)^2} + 1$.

Для нахождения неизвестного коэффициента $k$ воспользуемся одной из точек, принадлежащих графику, например, $(0, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:$2 = \frac{k}{(0-1)^2} + 1$

$2 = \frac{k}{(-1)^2} + 1$

$2 = k + 1$

$k = 1$

Таким образом, искомая формула функции:

Ответ: $y = \frac{1}{(x-1)^2} + 1$

4)Данный график является графиком кусочно-постоянной функции. Он состоит из трёх частей.

При $x > 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y=1$. Выколотая точка на оси $y$ при $y=1$ означает, что $x=0$ не входит в этот интервал.

При $x < 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y=-1$. Выколотая точка на оси $y$ при $y=-1$ означает, что $x=0$ не входит и в этот интервал.

При $x = 0$ на графике есть закрашенная точка в начале координат $(0, 0)$, что означает $y=0$ при $x=0$.

Эта функция является стандартной математической функцией "сигнум" (или "знак числа"), обозначаемой как $\text{sgn}(x)$. Она определяется следующим образом:

Ответ: $y = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$