Номер 2.9, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.9. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.6:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.6

1)На рисунке изображен график квадратичной функции (парабола). Общая формула параболы в вершинной форме: $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ – координаты вершины.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, -4)$. Следовательно, $h = -1$ и $k = -4$.

Подставим эти значения в формулу: $y = a(x - (-1))^2 - 4$ или $y = a(x+1)^2 - 4$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на графике, например, $(0, -3)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-3 = a(0+1)^2 - 4$

$-3 = a \cdot 1 - 4$

$-3 = a - 4$

$a = 1$

Таким образом, формула функции имеет вид: $y = 1 \cdot (x+1)^2 - 4$ или $y = (x+1)^2 - 4$.

Ответ: $y = (x+1)^2 - 4$

2)График состоит из ломаных линий и имеет характерную W-образную форму. Такие графики часто описываются функциями, содержащими вложенные модули. Построим функцию, исходя из ее преобразований.

1. Возьмем базовую функцию модуля $y = |x|$.

2. Сдвинем ее вправо на 3 единицы, чтобы вершина оказалась в точке $(3, 0)$: $y = |x-3|$.

3. Сдвинем график вниз на 1 единицу. Вершина окажется в точке $(3, -1)$, а нули функции будут в точках $x=2$ и $x=4$: $y = |x-3|-1$.

4. Теперь возьмем модуль от всей функции: $y = ||x-3|-1|$. Это действие отразит часть графика, находящуюся ниже оси $x$ (между $x=2$ и $x=4$), симметрично вверх.

В результате мы получим W-образный график с вершинами в точках $(2, 0)$, $(3, 1)$ и $(4, 0)$. Проверим точку $(0, 2)$: $y = ||0-3|-1| = |3-1| = 2$. Точка принадлежит графику.

Ответ: $y = ||x-3|-1|$

3)На рисунке изображен график дробно-рациональной функции (гипербола). Общая формула смещенной гиперболы: $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $x=a$ – вертикальная асимптота, а $y=b$ – горизонтальная асимптота.

Из графика определяем асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x = 2$, следовательно, $a=2$.

- Горизонтальная асимптота: $y = 3$, следовательно, $b=3$.

Формула принимает вид: $y = \frac{k}{x-2} + 3$.

Для нахождения коэффициента $k$ используем точку, через которую проходит график, например, начало координат $(0, 0)$.

$0 = \frac{k}{0-2} + 3$

$0 = -\frac{k}{2} + 3$

$\frac{k}{2} = 3$

$k = 6$

Итак, искомая формула: $y = \frac{6}{x-2} + 3$.

Ответ: $y = \frac{6}{x-2} + 3$

4)График функции симметричен относительно начала координат и напоминает график кубической функции $y=x^3$, но отраженный относительно оси $x$ или $y$.

Общий вид такой функции, проходящей через начало координат и симметричной относительно него: $y = kx^3$.

Для определения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(1, -1)$.

Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = k \cdot (1)^3$

$-1 = k \cdot 1$

$k = -1$

Таким образом, формула функции: $y = -x^3$.

Проверим полученную формулу по другой точке, например, $(2, -8)$: $y = -(2)^3 = -8$. Это соответствует графику.

Ответ: $y = -x^3$