Номер 2.2, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.2. Напишите формулу функции, график которой изображен на рисунке 2.4:

1)

2)

3)

4)

Рис. 2.4

1) График состоит из двух отрезков прямой, значит, функция является кусочно-линейной. Необходимо найти уравнение для каждого участка и определить его область определения.

Первый участок — это отрезок прямой, проходящий через точки $(-5, 1)$ (точка закрашенная) и $(-1, 5)$. В точке $x = -1$ на графике есть две точки: $(-1, 5)$ и $(-1, 3)$. Чтобы это была функция, одна из них должна быть выколотой. Судя по второму участку, точка $(-1, 3)$ является закрашенной, а значит точка $(-1, 5)$ — выколотая. Таким образом, первый участок определен на промежутке $x \in [-5, -1)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона): $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{-1 - (-5)} = \frac{4}{4} = 1$.

Уравнение принимает вид $y = x + b$. Подставим координаты точки $(-5, 1)$: $1 = -5 + b$, откуда $b = 6$.

Итак, для $x \in [-5, -1)$ формула функции: $y = x + 6$.

Второй участок — это отрезок прямой, проходящий через точки $(-1, 3)$ (точка закрашенная) и $(4, -2)$ (точка выколотая). Таким образом, второй участок определен на промежутке $x \in [-1, 4)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{-2 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-5}{5} = -1$.

Уравнение принимает вид $y = -x + b$. Подставим координаты точки $(-1, 3)$: $3 = -(-1) + b$, откуда $3 = 1 + b$, и $b = 2$.

Итак, для $x \in [-1, 4)$ формула функции: $y = -x + 2$.

Объединяя оба участка, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 6, & \text{если } -5 \le x < -1 \\ -x + 2, & \text{если } -1 \le x < 4 \end{cases}$

2) График представляет собой кусочно-линейную функцию, состоящую из двух отрезков и одной изолированной точки.

Первый участок — отрезок прямой, соединяющий точки $(-5, 2)$ (закрашенная) и $(-2, 0)$ (закрашенная). Область определения этого участка: $x \in [-5, -2]$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{0 - 2}{-2 - (-5)} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.

Уравнение принимает вид $y = -\frac{2}{3}x + b$. Подставим координаты точки $(-2, 0)$: $0 = -\frac{2}{3}(-2) + b$, откуда $0 = \frac{4}{3} + b$, и $b = -\frac{4}{3}$.

Итак, для $x \in [-5, -2]$ формула функции: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$.

Второй участок — отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 0)$ (закрашенная) и $(3, 5)$ (выколотая). Область определения этого участка: $x \in (-2, 3)$.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Угловой коэффициент: $k = \frac{5 - 0}{3 - (-2)} = \frac{5}{5} = 1$.

Уравнение принимает вид $y = x + b$. Подставим координаты точки $(-2, 0)$: $0 = -2 + b$, откуда $b = 2$.

Итак, для $x \in (-2, 3)$ формула функции: $y = x + 2$.

Третий элемент — изолированная точка $(3, 2)$ (закрашенная). Это означает, что при $x = 3$ значение функции $y = 2$.

Функция непрерывна в точке $x=-2$, так как $-\frac{2}{3}(-2) - \frac{4}{3} = 0$ и $-2+2=0$. Поэтому можно включить $x=-2$ в любой из первых двух интервалов. Объединим все части.

Ответ: $y = \begin{cases} -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}, & \text{если } -5 \le x \le -2 \\ x + 2, & \text{если } -2 < x < 3 \\ 2, & \text{если } x = 3 \end{cases}$

3) График состоит из участка параболы и изолированной точки.

Основная часть графика — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, 5)$. Уравнение такой параболы имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.

Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x - 1)^2 + 5$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся еще одной точкой на параболе, например, $(0, 4)$.

$4 = a(0 - 1)^2 + 5 \Rightarrow 4 = a + 5 \Rightarrow a = -1$.

Таким образом, уравнение параболы: $y = -(x - 1)^2 + 5$.

Область определения для этого участка: левый конец графика находится на оси Ox, найдем его: $0 = -(x-1)^2+5 \Rightarrow (x-1)^2=5 \Rightarrow x-1 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x=1\pm\sqrt{5}$. Левая точка $x = 1-\sqrt{5}$. Правый конец — выколотая точка при $x = 4$. Значение в этой точке было бы $y = -(4-1)^2+5 = -9+5 = -4$. Итак, этот участок определен для $x \in [1-\sqrt{5}, 4)$.

Изолированная точка имеет координаты $(4, 3)$. То есть, при $x = 4$ значение функции $y = 3$.

Объединяя, получаем функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -(x - 1)^2 + 5, & \text{если } 1-\sqrt{5} \le x < 4 \\ 3, & \text{если } x = 4 \end{cases}$

4) График является ветвью параболы, что соответствует функции квадратного корня. Общий вид такой функции $y = a\sqrt{x - h} + k$.

Начальная точка графика (вершина) находится в точке $(-3, -2)$. Это означает, что $h = -3$ и $k = -2$.

Уравнение принимает вид $y = a\sqrt{x - (-3)} - 2 = a\sqrt{x + 3} - 2$.

Для нахождения коэффициента $a$ используем другую точку, через которую проходит график. На графике видно, что он проходит через точки с целыми координатами $(-2, -1)$ и $(1, 0)$. Возьмем точку $(1, 0)$.

Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a\sqrt{1 + 3} - 2 \Rightarrow 0 = a\sqrt{4} - 2 \Rightarrow 0 = 2a - 2 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$.

Проверим с точкой $(-2, -1)$: $-1 = 1\sqrt{-2+3}-2 = \sqrt{1}-2=1-2=-1$. Точка также подходит.

Таким образом, формула функции: $y = \sqrt{x + 3} - 2$.

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$, что соответствует графику. (Закрашенная точка в начале координат на рисунке, вероятно, является небольшой неточностью изображения, так как при $x=0$, $y=\sqrt{3}-2 \approx -0.268$).

Ответ: $y = \sqrt{x+3} - 2$