Объясните, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как по графику функции найти ее область определения?

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Чтобы найти область определения по графику, нужно спроецировать все его точки на ось абсцисс ($Ox$) и определить, какой интервал или совокупность интервалов на этой оси они покрывают.

Для этого мысленно «сжимайте» график по вертикали до тех пор, пока он не «отпечатается» на оси $Ox$. Полученный след и будет областью определения.

При этом важно обращать внимание на следующие детали:

1. Крайние точки графика. Если на конце линии графика стоит закрашенная точка (●), то это значение $x$ включается в область определения (в записи используется квадратная скобка: $[$ или $]$). Если точка выколотая, или «пустая» (○), то это значение $x$ исключается (используется круглая скобка: $($ или $)$).

2. Разрывы. Если внутри непрерывной линии есть выколотая точка, то её координату $x$ нужно исключить из области определения.

3. Вертикальные асимптоты. Это вертикальные прямые ($x=a$), к которым график бесконечно приближается, но никогда не пересекает. Значение $x=a$ нужно исключить из области определения.

4. Бесконечность. Если график уходит влево или вправо до бесконечности (часто на конце рисуют стрелку), то область определения включает $(-\infty, \dots)$ или $(\dots, +\infty)$ соответственно.

Пример 1: График ограничен с двух сторон

Представим, что график функции — это линия, которая начинается в точке $(-4; 2)$ и заканчивается в точке $(3; -1)$. Начальная точка $(-4; 2)$ закрашена, а конечная точка $(3; -1)$ выколота. Проекция этого графика на ось $Ox$ покроет все значения от $-4$ до $3$. Так как $x=-4$ соответствует закрашенной точке, это значение включается. Так как $x=3$ соответствует выколотой точке, это значение исключается.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4; 3)$.

Пример 2: График с вертикальной асимптотой

Допустим, график функции состоит из двух ветвей, которые неограниченно приближаются к вертикальной прямой $x=2$, но не пересекают её. Влево и вправо график уходит на бесконечность. Это значит, что функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Пример 3: График с выколотой точкой

Рассмотрим прямую линию, которая проходит через всю координатную плоскость, но в точке с абсциссой $x=-1$ на ней есть «дырка» (выколотая точка). Это означает, что функция существует при любом $x$, кроме $x=-1$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Пример 4: График — луч

Пусть график функции начинается в точке $(0; 1)$ (точка закрашена) и уходит вправо и вверх на бесконечность. Проекция этого графика на ось $Ox$ начинается в точке $x=0$ и продолжается вправо до бесконечности. Так как начальная точка включена, используем квадратную скобку.

Ответ: Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.