Номер 1.27, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.27. Числитель несократимой дроби на единицу меньше знаменателя.

Если к данной дроби прибавить взаимно-обратную дробь, то значение их суммы будет равно $\frac{113}{56}$. Найдите данную дробь.

Пусть знаменатель искомой несократимой дроби равен $x$.

Согласно условию, числитель на единицу меньше знаменателя, значит, числитель равен $x-1$.

Таким образом, искомая дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$. Условие несократимости означает, что числа $x-1$ и $x$ являются взаимно простыми, что всегда верно для последовательных натуральных чисел.

Дробь, взаимно-обратная данной, равна $\frac{x}{x-1}$.

Сумма этих двух дробей по условию равна $\frac{113}{56}$. Составим уравнение:

$\frac{x-1}{x} + \frac{x}{x-1} = \frac{113}{56}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x \cdot x}{x(x-1)} = \frac{113}{56}$

$\frac{(x-1)^2 + x^2}{x(x-1)} = \frac{113}{56}$

Раскроем скобки и упростим выражение в левой части:

$\frac{x^2 - 2x + 1 + x^2}{x^2 - x} = \frac{113}{56}$

$\frac{2x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} = \frac{113}{56}$

Теперь используем основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$56 \cdot (2x^2 - 2x + 1) = 113 \cdot (x^2 - x)$

$112x^2 - 112x + 56 = 113x^2 - 113x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$113x^2 - 112x^2 - 113x + 112x - 56 = 0$

$x^2 - x - 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $x$. Рассмотрим каждый из них:

1. Если $x = 8$, то знаменатель равен 8, а числитель равен $x-1 = 8-1 = 7$. Искомая дробь — $\frac{7}{8}$. Эта дробь удовлетворяет всем условиям: она несократима, и ее числитель на единицу меньше знаменателя.

2. Если $x = -7$, то знаменатель равен -7, а числитель равен $x-1 = -7-1 = -8$. Получается дробь $\frac{-8}{-7}$, которая равна $\frac{8}{7}$. В этой дроби числитель (8) на единицу больше знаменателя (7), что противоречит условию задачи.

Следовательно, единственным подходящим решением является первый случай.

Ответ: $\frac{7}{8}$.