Номер 1.22, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.22. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12}}$

2) $y = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32}}$

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к системе неравенств: $ \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12} \ge 0 \\ x^2 - 4x + 12 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим знаменатель $x^2 - 4x + 12$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 12$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю и всегда положителен.

Таким образом, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x + 12} \ge 0$ равносильно неравенству: $x^2 - 25 \ge 0$

Разложим на множители: $(x-5)(x+5) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-5)(x+5) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства есть объединение промежутков: $(-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32}}$ определяется условием: $\frac{36 - x^2}{x^2 - 4x - 32} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $36 - x^2 = 0 \implies (6-x)(6+x) = 0 \implies x_1 = -6, x_2 = 6$.

Корни знаменателя (эти точки будут выколоты): $x^2 - 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = -32$. Отсюда $x_3 = 8, x_4 = -4$.

Перепишем неравенство в виде: $\frac{(6-x)(6+x)}{(x-8)(x+4)} \ge 0$

Для удобства приведем множитель $(6-x)$ к стандартному виду $(x-6)$, умножив неравенство на -1 и изменив его знак на противоположный: $\frac{-(x-6)(x+6)}{(x-8)(x+4)} \ge 0 \implies \frac{(x-6)(x+6)}{(x-8)(x+4)} \le 0$

Отметим корни $-6, -4, 6, 8$ на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

 + - + - +---•-------o-------•-------o------> -6 -4 6 8 x 

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $[-6, -4)$ и $[6, 8)$. Точки $-6$ и $6$ (корни числителя) включаем в решение, так как неравенство нестрогое. Точки $-4$ и $8$ (корни знаменателя) исключаем, так как на ноль делить нельзя.

Таким образом, область определения функции: $x \in [-6, -4) \cup [6, 8)$.

Ответ: $x \in [-6, -4) \cup [6, 8)$.