Номер 1.20, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.20. На рисунке 1.4 даны графики функций, областью определения которых является числовой отрезок $[a; b]$. Используя график, найдите множество значений функции:

1)

2)

3)

4)

Рис. 1.4

1) Множество значений функции (область значений) — это проекция её графика на ось ординат (ось y). Чтобы найти его, нужно определить все значения, которые принимает функция $y$ на своей области определения.

График состоит из двух частей.

Первая часть — это кривая, определенная для $x \in [-3, 1)$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $(-3, 1)$ и равно 1. Максимальное значение достигается в точке $(0, 5)$ и равно 5. Таким образом, на интервале $x \in [-3, 0]$ функция принимает все значения из отрезка $[1, 5]$. На интервале $x \in [0, 1)$ значения функции лежат в полуинтервале $(3, 5]$. Объединив эти значения, получаем, что на участке $x \in [-3, 1)$ функция принимает значения из множества $[1, 5]$.

Вторая часть — это отрезок прямой, определенный для $x \in [1, 5]$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $(1, 2)$ и равно 2. Максимальное значение достигается в точке $(5, 5)$ и равно 5. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из отрезка $[2, 5]$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = [1, 5] \cup [2, 5]$.

Объединением этих двух отрезков является отрезок $[1, 5]$.

Ответ: $E(y) = [1, 5]$.

2) График функции состоит из изолированной точки и участка кривой.

Изолированная точка $(-4, 1)$ означает, что при $x=-4$ функция принимает значение $y=1$.

Кривая определена для $x \in (-3, 5]$. Это часть параболы. Наименьшее значение на этом участке достигается в крайней правой точке $(5, -1)$ и равно -1 (точка закрашена, значит значение включено). Наибольшее значение достигается в вершине параболы, точке $(1, 3)$, и равно 3. Хотя точка $(-3, 3)$ выколота (не принадлежит графику), значение $y=3$ достигается при $x=1$, поэтому оно входит в множество значений. Таким образом, на этом участке функция принимает все значения из отрезка $[-1, 3]$.

Множество значений всей функции — это объединение значений от всех её частей: $E(y) = \{1\} \cup [-1, 3]$.

Поскольку число 1 содержится в отрезке $[-1, 3]$, их объединение равно самому отрезку.

Ответ: $E(y) = [-1, 3]$.

3) График функции состоит из двух частей. Заметим, что одна из частей является лучом, уходящим в бесконечность, что противоречит условию задачи об области определения на отрезке $[a; b]$. Будем находить множество значений для функции, как она изображена на графике.

Первая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in [-5, -3)$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=5$ (включительно, в точке $x=-5$) до $y=1$ (не включительно, так как точка при $x=-3$ выколота). Таким образом, множество значений на этом участке — полуинтервал $(1, 5]$.

Вторая часть — ломаная, определенная для $x \in [-3, +\infty)$. Она начинается в точке $(-3, 3)$, достигает локального максимума в точке $(2, 5)$, а затем неограниченно убывает (является лучом). Таким образом, максимальное значение на этом участке равно 5, а минимального значения не существует. Множество значений на этом участке — луч $(-\infty, 5]$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = (1, 5] \cup (-\infty, 5]$.

Объединением этих множеств является луч $(-\infty, 5]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 5]$.

4) График функции состоит из двух отрезков прямой. Заметим, что в точке $x=-1$ функция не определена (обе точки выколоты), что противоречит условию задачи об области определения на отрезке $[a; b]$. Будем находить множество значений для функции, как она изображена на графике, то есть для $x \in [-4, -1) \cup (-1, 5]$.

Первая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in [-4, -1)$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=2$ (включительно, в точке $x=-4$) до $y=0$ (не включительно, при $x \to -1$). Множество значений на этом участке — полуинтервал $(0, 2]$.

Вторая часть — отрезок прямой, определенный для $x \in (-1, 5]$. Значения функции на этом участке изменяются от $y=3$ (не включительно, при $x \to -1$) до $y=0$ (включительно, в точке $x=5$). Множество значений на этом участке — полуинтервал $[0, 3)$.

Общее множество значений функции является объединением множеств значений на каждой из частей: $E(y) = (0, 2] \cup [0, 3)$.

Объединив эти два полуинтервала, мы получим один полуинтервал, который включает 0 (из второго множества) и все числа до 3, не включая 3.

Ответ: $E(y) = [0, 3)$.