Номер 1.16, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.16. 1) $y = \frac{\sqrt{x - 9}}{x^2 - 7x + 10};$

2) $y = \frac{\sqrt{11 + x}}{x^2 - 3x - 10};$

3) $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{6 + 6,2x + x^2};$

4) $y = \frac{\sqrt{x + 4}}{3 - 14x - 5x^2}.$

1.16.1)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x-9}}{x^2 - 7x + 10}$ находится из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x - 9 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 7x + 10 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$x - 9 \ge 0$

$x \ge 9$

Решим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x=2$ и $x=5$, значит, $x \ne 2$ и $x \ne 5$.

Объединим оба условия:

$\begin{cases} x \ge 9 \\ x \ne 2 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Поскольку значения $x=2$ и $x=5$ не входят в промежуток $x \ge 9$, то они автоматически исключаются.

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные 9.

Ответ: $x \in [9, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{11+x}}{x^2 - 3x - 10}$ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} 11 + x \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$11 + x \ge 0$

$x \ge -11$

Решим второе условие. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -10$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Значит, $x \ne 5$ и $x \ne -2$.

Объединим полученные результаты. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \ge -11$, но при этом не равны -2 и 5.

Оба значения (-2 и 5) входят в промежуток $[-11, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Получаем объединение промежутков.

Ответ: $x \in [-11, -2) \cup (-2, 5) \cup (5, +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{\sqrt{1-x}}{6 + 6,2x + x^2}$ область определения находится из системы условий:

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ x^2 + 6,2x + 6 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - x \ge 0$

$1 \ge x$, или $x \le 1$.

Решим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6,2x + 6 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (6,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 38,44 - 24 = 14,44$.

$\sqrt{D} = \sqrt{14,44} = 3,8$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6,2 - 3,8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-6,2 + 3,8}{2} = \frac{-2,4}{2} = -1,2$.

Следовательно, $x \ne -5$ и $x \ne -1,2$.

Объединим условия: $x \le 1$, $x \ne -5$, $x \ne -1,2$.

Значения -5 и -1,2 меньше 1, поэтому их нужно исключить из промежутка $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -1,2) \cup (-1,2, 1]$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+4}}{3 - 14x - 5x^2}$ задается системой:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 3 - 14x - 5x^2 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$.

Решим второе условие. Найдем корни уравнения $3 - 14x - 5x^2 = 0$, или $5x^2 + 14x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3$.

$x_2 = \frac{-14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Значит, $x \ne -3$ и $x \ne 0,2$.

Совместим полученные условия: $x \ge -4$, $x \ne -3$, $x \ne 0,2$.

Оба значения (-3 и 0,2) входят в промежуток $[-4, +\infty)$, поэтому их необходимо "выколоть".

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, 0,2) \cup (0,2, +\infty)$.