Номер 1.14, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите области определения функций (1.14—1.18):

1.14.1) $y = \frac{3}{(x+4)(x-5)};$

2) $y = \frac{5}{(3x+1)(7x-2)};$

3) $y = \frac{10}{(6-5x)(9x-2)};$

4) $y = \frac{8}{(11x+2)(10x+7)};$

5) $y = \frac{x}{x^2 + 0,7x - 0,3};$

6) $y = \frac{3x}{x^2 - 0,3x - 0,7};$

7) $y = \frac{x-2}{1,56 + 2,5x + x^2};$

8) $y = \frac{3-x}{-1 + 12x - 27x^2}.$

1) Область определения функции $y = \frac{3}{(x+4)(x-5)}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, решаем неравенство:

$(x+4)(x-5) \neq 0$

Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю:

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме -4 и 5.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{5}{(3x+1)(7x-2)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(3x+1)(7x-2) \neq 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти исключаемые точки:

$3x + 1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$

$7x - 2 \neq 0 \implies 7x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{7}$

Область определения — все действительные числа, кроме $-\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{2}{7}) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{10}{(6-5x)(9x-2)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(6-5x)(9x-2) \neq 0$

Находим значения $x$, при которых множители равны нулю:

$6 - 5x \neq 0 \implies 5x \neq 6 \implies x \neq \frac{6}{5}$

$9x - 2 \neq 0 \implies 9x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{9}$

Область определения — все действительные числа, кроме $\frac{2}{9}$ и $\frac{6}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}; \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.

4) Для функции $y = \frac{8}{(11x+2)(10x+7)}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$(11x+2)(10x+7) \neq 0$

Находим значения $x$, которые нужно исключить:

$11x + 2 \neq 0 \implies 11x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{11}$

$10x + 7 \neq 0 \implies 10x \neq -7 \implies x \neq -\frac{7}{10}$

Поскольку $-\frac{7}{10} = -0.7$ и $-\frac{2}{11} \approx -0.18$, то $-\frac{7}{10} < -\frac{2}{11}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{10}) \cup (-\frac{7}{10}; -\frac{2}{11}) \cup (-\frac{2}{11}; +\infty)$.

5) Для функции $y = \frac{x}{x^2 + 0,7x - 0,3}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 + 0,7x - 0,3 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 + 0,7x - 0,3 = 0$. Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10x^2 + 7x - 3 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 13}{2 \cdot 10}$.

$x_1 = \frac{-7-13}{20} = \frac{-20}{20} = -1$

$x_2 = \frac{-7+13}{20} = \frac{6}{20} = 0,3$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0,3) \cup (0,3; +\infty)$.

6) Для функции $y = \frac{3x}{x^2 - 0,3x - 0,7}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 - 0,3x - 0,7 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 - 0,3x - 0,7 = 0$. Умножим на 10: $10x^2 - 3x - 7 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 17}{2 \cdot 10}$.

$x_1 = \frac{3-17}{20} = \frac{-14}{20} = -0,7$

$x_2 = \frac{3+17}{20} = \frac{20}{20} = 1$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (-0,7; 1) \cup (1; +\infty)$.

7) Для функции $y = \frac{x-2}{1,56 + 2,5x + x^2}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 + 2,5x + 1,56 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $x^2 + 2,5x + 1,56 = 0$. Умножим на 100: $100x^2 + 250x + 156 = 0$. Разделим на 2: $50x^2 + 125x + 78 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 125^2 - 4 \cdot 50 \cdot 78 = 15625 - 15600 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 \pm 5}{2 \cdot 50}$.

$x_1 = \frac{-125-5}{100} = \frac{-130}{100} = -1,3$

$x_2 = \frac{-125+5}{100} = \frac{-120}{100} = -1,2$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,3) \cup (-1,3; -1,2) \cup (-1,2; +\infty)$.

8) Для функции $y = \frac{3-x}{-1 + 12x - 27x^2}$ знаменатель не должен равняться нулю:

$-27x^2 + 12x - 1 \neq 0$

Решаем квадратное уравнение $-27x^2 + 12x - 1 = 0$. Умножим на -1: $27x^2 - 12x + 1 = 0$.

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2 \cdot 27}$.

$x_1 = \frac{12-6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{12+6}{54} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$

Исключаем эти значения из области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{9}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.