Номер 1.18, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.18.1) y = $\frac{\sqrt{2x - 13}}{\sqrt{x^2 - 12x + 20}}$;

2) y = $\frac{\sqrt{4 - 8x}}{\sqrt{x^2 - 4,5x - 9}}$;

3) y = $\frac{\sqrt{22 - 11x}}{\sqrt{-21 + 4x + x^2}}$;

4) y = $\frac{\sqrt{18 + 6x}}{\sqrt{40 - 3x - x^2}}$.

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2x - 13}}{\sqrt{x^2 - 12x + 20}}$ необходимо, чтобы выполнялись два условия: выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2x - 13 \ge 0 \\ x^2 - 12x + 20 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$2x \ge 13$

$x \ge 6,5$

Решим второе неравенство:

$x^2 - 12x + 20 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 20 = 0$.

Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$, $x_2 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 20$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < 2$ и $x > 10$. То есть $x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 6,5$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{4 - 8x}}{\sqrt{x^2 - 4,5x - 9}}$ задается системой неравенств: $$ \begin{cases} 4 - 8x \ge 0 \\ x^2 - 4,5x - 9 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$4 \ge 8x$

$x \le \frac{4}{8}$

$x \le 0,5$

Решим второе неравенство, предварительно умножив его на 2 для удобства:

$2x^2 - 9x - 18 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - \sqrt{225}}{4} = \frac{9 - 15}{4} = -1,5$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{225}}{4} = \frac{9 + 15}{4} = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x < -1,5$ и $x > 6$. То есть $x \in (-\infty; -1,5) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 0,5$ и $x \in (-\infty; -1,5) \cup (6; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; -1,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,5)$.

3) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{22 - 11x}}{\sqrt{-21 + 4x + x^2}}$ находится из системы неравенств: $$ \begin{cases} 22 - 11x \ge 0 \\ x^2 + 4x - 21 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$22 \ge 11x$

$x \le 2$

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \le 2$ и $x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; -7)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7)$.

4) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{18 + 6x}}{\sqrt{40 - 3x - x^2}}$ решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 18 + 6x \ge 0 \\ 40 - 3x - x^2 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство:

$6x \ge -18$

$x \ge -3$

Решим второе неравенство. Умножим его на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + 3x - 40 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.

По теореме Виета, корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 40$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 40 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-8; 5)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -3$ и $x \in (-8; 5)$.

Пересечением является промежуток $[-3; 5)$.

Ответ: $x \in [-3; 5)$.