Номер 1.25, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.25. Общее понятие функции, как и остальные понятия математики, сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития.

Математический термин "функция" впервые появился в 1692 г. у Лейбница

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716)

Первое общее определение функции встречается у Бернулли (1718)

Иоганн Бернулли
(1667—1748)

Современное определение функции дал Дирихле (1837)

Дирихле Петер Густав Лежен
(1805—1859)

Развитие понятия функции в математике является ярким примером того, как фундаментальные концепции эволюционируют со временем, проходя путь от интуитивных и частных представлений до строгих и общих определений. В этом процессе ключевую роль сыграли работы нескольких выдающихся математиков.

Математический термин "функция" (Лейбниц)

Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) впервые ввел сам термин «функция» (от латинского functio — совершение, исполнение) в 1692 году. Однако его понимание было далеко от современного. Для Лейбница и его современников функция была связана исключительно с геометрией. Он называл функцией различные отрезки, связанные с определенной точкой на кривой, например, длину касательной, нормали, подкасательной или абсциссу и ординату точки. То есть, функция понималась как некоторая изменяющаяся величина, зависящая от положения точки на кривой. Это был важный шаг, так как он сместил фокус с изучения статических фигур на изучение зависимостей между величинами.

Ответ: Готфрид Лейбниц в 1692 году ввел термин «функция» для обозначения величин, геометрически связанных с точкой на кривой.

Первое общее определение функции (Бернулли)

Следующий значительный шаг был сделан швейцарским математиком Иоганном Бернулли (1667–1748), учеником Лейбница. В 1718 году он дал первое определение функции, свободное от геометрической интуиции. Согласно Бернулли, «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». По сути, это определение отождествляло функцию с аналитическим выражением, то есть с формулой. Примерами таких функций могли быть $y = x^2$, $y = \sqrt{1-x}$ или $y = \sin(x)$. Это определение, позже уточненное и популяризированное Леонардом Эйлером, доминировало в математике на протяжении всего XVIII века.

Ответ: Иоганн Бернулли в 1718 году определил функцию как аналитическое выражение (формулу), состоящее из переменной и констант.

Современное определение функции (Дирихле)

Современное и наиболее общее определение функции было сформулировано немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле (1805–1859) в 1837 году. Он полностью отказался от требования представимости функции в виде единой аналитической формулы. Согласно Дирихле, переменная $y$ является функцией переменной $x$ на некотором множестве, если каждому значению $x$ из этого множества соответствует одно определенное значение $y$, причем совершенно неважно, каким способом установлено это соответствие. Это может быть формула, график, таблица или даже словесное описание.

Это определение позволило рассматривать и более "экзотические" объекты, например, знаменитую функцию Дирихле, которая не может быть задана одной формулой и не является непрерывной ни в одной точке:

$D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Именно определение Дирихле, основанное на идее соответствия между элементами двух множеств, лежит в основе современного математического анализа.

Ответ: Петер Дирихле в 1837 году дал современное определение функции как правила, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (области значений).